差分约束系统
一、概念
二、引例
三、差分约束与最短路模型
1、与最短路模型的联系
先给出结论：求解差分约束系统，都可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。
我们观察上面例子中的不等式，都是x[i] - x[j] <= a[k]，可以进行移项，成为x[i] <= x[j] + a[k]，我们令a[k] = w(j, i)，dis[i]=x[i],并使i=v,j=u,那么原始就变为：dis[u]+w(u,v)>=dis[v],于是可以联想到最短路模型中的一部分代码
if(dis[u]+w(u,v)<=dis[v]) { dis[v]=dis[u]+w(u,v); }
这不正与松弛操作相似吗？
但是好像不等号方向刚好相反，但其实这并不矛盾
2.问题解的存在性
由于在求解最短路时会出现存在负环或者终点根本不可达的情况，在求解差分约束问题时同样存在
（1）、存在负环
如果路径中出现负环，就表示最短路可以无限小，即不存在最短路，那么在不等式上的表现即X[n-1] - X[0] <= T中的T无限小，得出的结论就是 X[n-1] - X[0]的最大值不存在。在SPFA实现过程中体现为某一点的入队次数大于节点数。（貌似可以用sqrt(num_node)来代替减少运行时间）
（2）、终点不可达
这种情况表明X[n-1]和X[0]之间没有约束关系，X[n-1] - X[0]的最大值无限大，即X[n-1]和X[0]的取值有无限多种。在代码实现过程中体现为dis[n-1]=INF。
3、不等式组的转化
做题时可能会遇到不等式中的符号不相同的情况，但我们可以对它们进行适当的转化
（1）方程给出：X[n-1]-X[0]>=T ,可以进行移项转化为： X[0]-X[n-1]<=-T。
（2）方程给出：X[n-1]-X[0] （3）方程给出：X[n-1]-X[0]=T，可以转化为X[n-1]-X[0]<=T&&X[n-1]-X[0]>=T，再利用（1）进行转化即可 对于不同的题目，给出的条件都不一样，我们首先需要关注问题是什么，如果需要求的是两个变量差的最大值，那么需要将所有不等式转变成"<="的形式，建图后求最短路；相反，如果需要求的是两个变量差的最小值，那么需要将所有不等式转化成">="，建图后求最长路 求最大值： 对于不等式 x[i] - x[j] <= a[k]，对结点 j 和 i 建立一条 j -> i的有向边，求最短路 求最小值： 对于不等式x[i] - x[j] >= a[k]，对结点 j 和 i 建立一条 j -> i的有向边，求最长路 如果图不连通，则在spfa开始时，把所有的结点放进队列，如下代码 无论求最大还是求最小 都这样写 注意下界 注意隐含条件，一般都是相邻的两个点之间 i 和 i + 1 如果每个点都有个范围 则 设一个源点n + 1 以ZOJ 4028为例 l <= a[i] <= r 则 l <= a[i] - a[n - 1] <= r 存在负环的话是无解 （1、dist[ ]没有得到更新 （先判断是否有负环 再判断能否求出最短路 即是否为任意解 再输出正解 ）， 2、也可以把每条边减去INF 判断是否形成负环，这样还不形成负环的话就是任意解 先判断是否有负环 再输出正解 再判断是否任意解 ）的话是任意解 。 注意要求的东西 典型题目： HDU - 1384 HDU - 1384 HDU - 1531 HDU - 3666 总结一下： 做差分约束一定要找个不等式关系，一般都有两个未知变量，像hdu1384 求的是与这个区间重合的元素，那我们就可以转化为sum(a)表示0到a区间与答案集合重合的元素 然后sum(b) - sum(a - 1) >= w 或者 <= w 是不是就可以了 sum(a) 和 sum(b) 分别用a 和 b来表示就可以了 像hdu 3666 有乘积的不等式 一定要想到log一下那么log(a) 和 log(b) 就可以分别用行和列来表示 摘自：https://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/728494414、应用
for(int i=0; i<=n; i++)
{
Q.push(i);
d[i] = 0;
vis[i] = 1;
}
求不出最短路 if(spfa()) printf("无解\n");
else if(d[n] == INF)
printf("任意解\n");
else
{
printf("%d\n", d[n]);
}
bool flag = spfa();
if(flag) printf("无解\n");
else if(!flag && d[n] != INF) //在这一步还要用d[n]与INF作比较 所以不如直接用第一种方法判定
{
printf("%d\n", d[n]);
}
else if(!check(INF))
printf("任意解\n");