2017 四川省赛L.Nice Trick

数论倒数，又称逆元（因为我说习惯逆元了，下面我都说逆元）

数论中的倒数是有特别的意义滴

你以为a的倒数在数论中还是1/a吗

(・∀・)哼哼~天真

 

先来引入求余概念

 

(a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  （对）

(a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  （对）

(a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  （对）

(a  /  b) % p = (a%p  /  b%p) %p  （错）

 

为什么除法错的

证明是对的难，证明错的只要举一个反例

(100/50)%20 = 2       ≠      (100%20) / (50%20) %20 = 0

 

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？

答案当然是 NO (>o<)

 

这时就需要逆元了

 

我们知道

如果

a*x = 1

那么x是a的倒数，x = 1/a

但是a如果不是1，那么x就是小数

那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了

a*x  = 1 (mod p)

那么x一定等于1/a吗

不一定

所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做    a关于p的逆元

 

比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元

这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数

 

a的逆元，我们用inv(a)来表示

 

那么(a  /  b) % p = (a * inv(a) ) % p = (a % p * inv(a) % p) % p

这样就把除法，完全转换为乘法了 (。・ω・)，乘法超容易

(忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)

先给题目链接

 传送门

 题目大意：题目给了你从任意数中选出三个数，然后相乘，并加到总和的公式，现在要你从任意数中选出四个数，相乘，并加到总和，问最后的答案，对1e9+7取模

题目思路：枚举第四个数，对它前面的数套公式就好，除6的时候写一下逆元

 

#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e5+10;
const int MOD = 1e9+7;

ll n,a[maxn],sum1[maxn],sum2[maxn],sum3[maxn],inv[6];

//1.费马小定理
ll quick(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans = (ans*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}


//3.p是质数
ll inv1(ll t, ll p)
{//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv1(p % t, p) % p;
}



// 2.拓展欧几里得
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d)
{
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv2(LL t, LL p)
{//如果不存在，返回-1
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}



ll solve(ll x)
{
    ll s1 = (((sum1[x]*sum1[x])%MOD)*sum1[x])%MOD;
    ll s2 = (((sum2[x]*sum1[x])%MOD)*3)%MOD;
    ll s3 = (2*sum3[x])%MOD;
    ll s4 = s1-s2+s3;
   // ll s5 = (s4%MOD*inv(s4%MOD,MOD))%MOD;
    return s4%MOD;
}

int main()
{
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        sum1[0] = sum2[0] = sum3[0] = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            sum1[i] = (sum1[i-1]+a[i])%MOD;
            sum2[i] = (sum2[i-1]+(a[i]*a[i])%MOD)%MOD;
            sum3[i] = (sum3[i-1]+(((a[i]*a[i])%MOD)*a[i])%MOD)%MOD;
        }
        ll sum = 0;
        for(int i = 4;i <= n;i++)
            sum = (sum + (a[i] * solve(i-1))%MOD)%MOD;
        //printf("%lld\n",sum*quick(6,MOD-2,MOD)%MOD);
        cout<

 

 4.求1-n的逆元

O(n)的复杂度内算出n个数的逆元

#include
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}
int main(){
    init();
}

转自 http://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html