欧拉定理和费马小定理

前置工作

在分析这两个定理之前,先引入几个重要的定义和定理:
$$\begin{gathered} definition: \\ 所有对自然数m同余的自然数组成的集合称m的\text{ 完全剩余类}. \\ 所有对自然数m同余的且余数和m互质的自然数组成的集合称m的\text{ 简化剩余类}. \\ 在每个\text{完全剩余类}中任取一个,组成的集合称m的\text{ 完全剩余系}. \\ 在每个\text{简化剩余类}中任取一个,组成的集合称m的\text{ 简化剩余系}. \end{gathered}$$
$$\phi (m)指简化剩余系的元素数.换句话说,就是(0,m)中和m互质的整数的数量.$$

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将m的某剩余类a划分为mn的剩余类的和:

该类可表示为$a+mk,k\in z$.又全体整数可对n分为0,1,…n-1,则对k分解,有
$$\{a+mk\}=\{a+tmn\}\cup \{a+(t+1)mn\}\cup ...\cup \{a+(t+n-1)mn\}$$
这就是对m的某个剩余类对$m\dot{n}$的进一步分划.重点在于对a所在剩余类的描述是$a+km$而不是常规的$km+b$(好像也没差)
注意是对k分解.

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关于同余的一些重要性质:

$$\begin{gathered} theorem: \\ ifa\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ a+c\equiv b+c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$
同余的两数可以同乘
$$\begin{gathered} ifa\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ ka\equiv kb(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$
可以同除一个对m互质的数
$$\begin{gathered} ifak\equiv bk(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ 且(k,m)=1 \\ 则a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$
同余的两数可以同乘.如果是正整数,可以带上m一起乘.
而且反之亦然.
$$\begin{gathered} ifa\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ ka\equiv kb(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}km) \end{gathered}$$
整系数的多项式组合也满足该关系.
$$\begin{gathered} ifa\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ f(a)\equiv f(b)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$

最后一条也是一个推论.
//To do:过段时间再整理这一部分.

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接下来是剩余系的遍历定理:

1. if a,m互质,则当x遍历m的一个完全剩余系的同时ax+b遍历m的一个完全剩余系
2. if a,m互质,则当x遍历m的一个简化剩余系的同时ax遍历m的一个简化剩余系
3. if (m,n)=1,当x遍历n的完全剩余系,y遍历m的完全剩余系,mx+ny遍历mn的完全剩余系.
4. 简化剩余系亦同.

下面做一点分析.

1. 对于一个完全剩余系$\{r_1,r_1...r_m\}$,里面的元素互不相等也不同余…
2. 因为a,m互质,$a{r}_i+b\equiv ̸a{r}_j+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$[这个地方要好好想一想].x遍历$\{r_1,r_1...r_m\}$时,ax+b分属m个不同的剩余类,形成一个完全剩余系.
3. 进一步的,$gcd(a,m)=1\to gcd(a{r}_i,m)=1$所以x遍历简化剩余系的时候ax也分属每个简化剩余类,形成简化剩余系.

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欧拉定理

$$\begin{gathered} Theorem: \\ ifgcd(a,m)=1\to a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$
下面是解释.
$$\begin{gathered} r_1,r_2,...,r_{\phi (m)}是m的简化剩余系, \\ 则 \\ a{r}_i组成一个新的简化剩余系 \\ a{r}_1\cdot a{r}_2\cdot ...\cdot a{r}_{\phi (m)}=a^{\phi (m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...r_{\phi (m)} \\ {r}_1\cdot r_2\cdot ....\cdot r_{\phi (m)}\equiv a^{\phi (m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...r_{\phi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ 又\forall r_i,没有任何一个和m相同的质数分解方案(1不算)(否则就不叫互质了),所以 \\ {r}_1\cdot r_2\cdot ....\cdot r_{\phi (m)}与m互质. \\ 应用之前提到的同余的性质,两边同除r_1\cdot r_2\cdot ....\cdot r_{\phi (m)}, \\ 得欧拉定理a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m). \end{gathered}$$
欧拉定理的关键就是简化剩余系的ax遍历性质,以及同余式两边的消去.这里再次强调:

• 如果同除的系数互质于m,则可以只用除两个同余数;
• 如果不确定是否互质,则应该三个参数一起除.

如果是扩增:

• 可以三个同乘;
• 也可以不加限制的两个同乘(至少得是整数),而同除就不行
• 也可以整数项多项式同时套用在两个同余数上而m不动.

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费马小定理

$$\begin{gathered} Theorem: \\ ifp为素数,\forall a\in z,a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \end{gathered}$$
下面做一点解释.

1. $$\begin{gathered} ifgcd(a,p)=1, \\ 由欧拉定理,a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ 因为素数p的简化剩余系数量为p-1 \end{gathered}$$
2. $$\begin{gathered} ifgcd(a,p)≠1,p|a. \\ a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ 则a^p\equiv a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ 因为都是p的整数倍 \end{gathered}$$

这就很清楚了.

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下一篇尝试写写这两个定理的应用解题,以及在一些地方的应用.下下篇或许是一个tool:模重复平方法,用于在大数环境下求$a^e(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的.