取模运算的性质

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

1.求 整数商： c = a/b;

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例如：计算-7 Mod 4

那么：a = -7；b = 4；

第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；

第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。

归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。

当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。比如上式：-7取模4=1 -7取余4=-3

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余,即结果的符号和a一致！?

取模基本性质：

  若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)  

                     理解：减去相同余数，剩下的整除?

  (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)     理解：余数相同

  对称性：a≡b(%p)等价于b≡a(%p)理解：显然！在C中p|(a-b)，则p|(b-a)，相反数。

  传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)    理解：余数都相同

?取模运算性质：

  模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

  (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

  (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

  (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）      

  a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

  结合律：

  ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

  ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

  交换律：

  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

  (a * b) % p = (b * a) % p （8）

  分配律：

  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

?取模重要定理：

  若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

           理解：等价于p|(a+c-b+c)即p|(a-b)?

  若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

           理解：等价于p|[c(a-b)]，因为p(a-b)成立，所以原式成立?

  若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

  (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

          理解：条件得：p|(a-b),p|(c-d).则p|(a+c-b-d),p|(a-c-b+d).

中国剩余定理(完善)：