poj1737 带标号连通图计数（DP）

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【问题描述】

　　统计有 n 个不同顶点的连通图有多少个，图的顶点有编号。如图上是 n=3 时的 4 种不同连通图的方案。
　　　　

【输入格式】

　　输入包多组数据，每组数据仅一行一个整数n，表示标号图的顶点数目。

【输出格式】

　　对于每组数据输出一行，表示答案 mod 10^9+7 的结果。

【输入样例】

1
2
3
4
0

【输出样例】

1
1
4
38

【数据范围】

1<=n<=100

【来源】

poj1737（《大白书》112页）

要求连通图我们首先要知道一共有多少种图（因为这里的方法是先求不连通的图的个数），这个很好证明，我们每新加一个点n，它与前面的点有2^(n-1)种连法（就是与前面每个点连还是不连），所以有n个点的图一共有2^(n*(n-1)/2)种，这里的n*(n-1)/2是等差数列求和的公式得到的（从1加到n-1)。

我们设3个数组：
g[i]表示i个节点没连通的方案数。
d[i]表示i个节点连通的方案数。
h[i]表示i个节点的总方案数。

有了上面的铺垫我们就可以安心做这道题了，首先我们看到1号节点，假设与它连通的点有j个那么就有c(i-1,j-1)种选法来选出除了1号节点外的其他点。这j个点一共有d[j]种连法，然后剩下的i-j个点一共有h[i-j]种连法。

所以递推方程就出来了：g[i]={c[i-1,j-1]*d[j]*h[i-j]|1<=j<=i-1}.

我们可以先预处理h数组，其实也可以一边算一边处理。

代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=105;
const ll mod=1000000007;

ll d[maxn],c[maxn][maxn],h[maxn],g[maxn];

void ready()
{
    for(int i=0;i<=100;i++)
    c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++)
    {   
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
    }
}   
int main()
{
    //freopen("A.in","r",stdin);
    //freopen("A.out","w",stdout);
    ready();
    d[1]=1;
    g[1]=0;
    h[1]=1;
    int t=1;
    for(int i=2;i<=100;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i-1;j++)
        {
            g[i]=(g[i]+(c[i-1][j-1]*d[j])%mod*h[i-j])%mod;
        }
        t=(2*t)%mod;
        h[i]=(t*h[i-1])%mod;
        d[i]=(h[i]-g[i]+mod)%mod;
    }
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n)
    {
        printf("%d\n",d[n]);
        scanf("%d",&n);
    }
    return 0;
}