算法导论之计算几何学

算法导论之计算几何学

2016年12月07日 09:33:36 fjssharpsword 阅读数：3236更多

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计算几何学是计算机科学的一个分支，专门研究集合问题的解决的算法。计算几何学的问题一般输入关于一组集合对象的描述，如一组点、一组线段；输出是对问题的回答，如直线是否相交。三维空间和高维空间很难视觉化，这里计算几何学主要基于二维平面，输入对象用一组点来表示，其中每个pi=(xi,yi),xi,yi∈R。

1）线段的性质

两个不同的点p1=(x1,y1)和p2=(x2,y2)的凸组合是满足下列条件的任意点p3=(x3,y3)：对某个a(0≤a≤1)，有x3=ax1+(1-a)x2,y3=ay1+(1-a)y2，即p3=ap1+(1-a)p2。p3是位于穿过p1和p2的直线上、并处于p1和p2之间（包括p1和p2两点）的任意点，在给定两个不同的点p1和p2的情况下，线段p1p2是p1和p2的凸组合（convex combination）的集合。p1和p2是线段p1p2的端点，并需要考虑p1和p2之间的顺序。

在回答计算集合线段性质上，一般选择加法、减法、乘法和比较运算，避免使用除法和三角函数，因为这二者计算代价高昂且容易产生舍入误差降低精度。

叉积：

叉积是关于线段算法的中心，定义为p1Xp2，是由点(0,0)、p1、p2、和p1+p2=(x1+x2,y1+y2)所形成的平行四边形的面积，也等价于一个矩阵的行列式：

 

如果p1Xp2为正数，则相对于原点（0,0）来说，p1在p2的顺时针方向上；如果为负数，则p1在p2的逆时针方向上；如果为0，即在边界，则两个向量是共线的，指向同一个方向或相反的方向。

要确定公共端点p0，有向线段p0p1是否在有向线段p0p2的顺时针方向上，可计算叉积：

(p1-p0)X(p2-p0)=(x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0)

如果该积为正，则向线段p0p1在有向线段p0p2的顺时针方向上；如果为负，则向线段p0p1在有向线段p0p2的逆时针方向上。

连续线段的转向判断：

问题是在点p1处，两条连续的线段p0p1和p1p2是向左转还是向右转，就是确定p0p1p1的角的转向。应用叉积，检查有向线段p0p2是在有向线段p0p1的顺时针方向还是逆时针方向即可判断。计算叉积(p2-p0)X(p1-p0)，为负，则p0p2在p0p1的逆时针方向，在p1点会左转；如果为正，则p0p2在p0p1的顺时针方向，在p1点会右转。

两个线段的相交判断：

要确定两个线段是否相交，通过每个线段是否跨越了包含另一条线段的直线。给定一个线段p1p2，如果点p1位于某一直线的一边，而点p2位于该直线的另一边，则称线段p1p2跨越了该直线。如果p1和p2就落在该直线上的话，就是出现边界情况。

两个线段相交，当且仅当下面两个条件中的一个成立，或同时成立：

第一：每个线段都跨越包含了另一个线段的直线；

第二：一个线段的某一端点位于另一线段上（边界情况）。

算法伪码上主要是两个过程：第一个过程是计算每个端点相对于另一条线的方位，就是计算三个点的转向判断，得出相对方位d；第二个过程对d非零和零进行判断。

2）确定任意一对线段是否相交

要确定任意一对线段是否相交，采用扫除技术，算法运行时间是O(nlgn)，其中n是已知的线段数目。扫除技术只确定是否存在相交的线段，并不输出所有的相交点。扫除算法的过程，是假设存在一条垂直扫除线，自左向右依次穿过已知的几何物体，如果从x轴方向来看，就是一组垂直的线沿着时间横扫。扫除技术有两点假设：第一假定没有一条输入线是垂直的；第二假设没有三条输入线相交于同一点。扫除过程中，根据扫除线和线段相交的交点的y坐标值进行排序。对一个一条线段来说，扫除线从线段的左端点开始到右端点离开，过程中y的值随着x的变化而变化，从而有不同的排序。这个很好理解，两条线段的y值在前后扫除线的不同时间点具有不同的排序（大小出现颠倒），则说明有相交。

扫除算法维护两组数据：第一扫除线状态，记录了与扫除线相交的线段之间的关系；第二事件点调度，记录从左到右的x坐标的序列。

扫除线状态是一个全序T，用一颗红黑树实现，可在T上执行四个操作：

Insert(T,s)，将线段s插入到T中。

Delete(T,s)，将线段s从T 中删除。

Above(T,s)，返回T中紧靠线段s上面的线段。

Below(T,s)，返回T中紧靠线段s下面的线段。

算法的伪码描述就不具体展开，算法输入n个线段组成的集合S，如果S中有任意一对线段相交，则输出TRUE布尔值。算法整个过程通俗的理解就是：一条垂直的线沿着x轴自左向右扫过去，S集合中的线段在扫除线的每个事件点（x轴上的点）对线段y值进行排序。导论中图示表示很清晰，也做了证明。

3）寻找凸包

点集Q的凸包（convex hull）是一个最小的凸多边形P，满足Q中的每个点或者在P的边界上，或者在P的内部，用CH(Q)表示凸包。计算包含n个点的点集的凸包，有两种都是按照逆时针方向顺序输出凸包的各个顶点，一个是Graham扫描法，运行时间O(nlgn)；还有一个是Jarvis步进法，运行时间是O(nh)。直观上说，找出凸包的顶点就可以，两种算法都运用了旋转扫除技术，根据每个顶点对一个参照顶点的极角大小，依次处理。思路上就是选取参照点，计算凸包中和参照点的关系。

凸包问题和计算几何中的最远点对问题也相近，已知平面上的n个点的集合，找出他们中距离最远的两个点。还有其他算法，如增量算法、分治法、剪枝-搜索法。

Graham扫描法：

Graham扫描法通过设置一个候选点的堆栈S来解决凸包问题。输入集合Q中的每个点都被压入栈一次，非凸包CH(Q)中顶点的点被弹出堆栈，算法终止时，堆栈S中仅包含CH(Q)中的顶点，其顺序为各点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

具体伪码和案例及其正确定证明不描述，主要说下算法过程：首先选择参照点p0，一般选择顶点（最下边或最右边这种）；其次将所有点按照和p0极角大小递增顺序压入堆栈；接着依次弹出右转的非凸包顶点，最后剩下就是凸包的顶点。

Jarvis步进法：

Jarvis步进法采用打包（package wrapping）技术来计算一个点集Q的凸包，算法运行时间为O(nh)，其中h是CH(Q)的顶点数。

该方法的思路可以这样理解：找出Q集合中的最低点p0（y值最小），这是凸包的一个顶点，以该点为基础放射出一条无限长的线段，从右边开始沿上扫描，直到碰到一个点（遇到的点都是顶点），直到360度旋转回p0点。

这个过程中最重要的是，扫描过程中界定遇到的点是顶点，理论上，找出具有最小极角的点，如果极角相同再找出距离最远的点（x轴的距离）。

4）寻找最近点对

在n≥2个点的集合Q中寻2找最近点对的问题。最近通常理解为欧几里得距离，点p1=(x1,y1)和p2=(x2,y2)之间的距离为：

 

如果集合中两个点重合，那距离就是0。寻找最近点对问题应用在空中或海洋交通控制系统中，用于发现两个距离最近的交通工具，以便检测出可能发生的相撞事故。

一般简单的做法，就是计算出所有点的两两距离，然后得出最近点对，这个算法是点数n的平方时间性能。如果应用分治算法，采用递归T(n)=2T(n/2)+O(n)，算法运行时间为O(nlgn)。下面描述分治算法的思路。

分治算法的每一次递归调用输入为子集P⊆Q和数组X和Y，每个数组均包含输入子集P的所有点。数组X中点，按x坐标单调递增排序；同样的，数组Y中的点，按y坐标单调递增排序。递归退出在检查|P|≤3，如果小于等于3个点，那直接就两两比较；如果大于3，则接着分治。具体步骤：

第一分解：找出一条垂直线L，将点集P划分为左右两个集合PL和PR，需要满足二者的点数是P的二分之一。自然，数组X就也划分两个数组XL和XR，数组Y也 划分为两个数组YL和YR。

第二解决：P划分成PL和PR后，进行两次递归调用，一次找出PL的最近点对，返回最近点对距离l，一次找出PR的最近点对，返回最近点对距离r；取min(l,r)返回。

第三合并：最近点对，要么是某次递归调用返回的取min(l,r)距离，要么就是   PL中的一个点和PR中的一个点组成点对，算法中需要确定跨数组的点对距离和min(l,r)距离关系；如果小于，则点对中的两个点一定在距离垂直线L的min(l,r)单位内；这样就建立一个以垂直线L为中心，宽度为2 min(l,r)的垂直带形区域内；找出这样点对，需要对数组Y内不在该区域的点去掉，剩下依旧按照y坐标顺序排序；对数组Y中在区域内的所有点，找出距离其在min(l,r)单位距离内的点，并记录下其点对距离；如果存在比min(l,r)更小的，则返回该点及其距离。

算法的正确性就不多叙述，其实计算几何需要抽象去理解，好在二维的还是比较好理解。