[SLAM]（3-1）：旋转矩阵：：刚体、向量、线性代数知识、向量的旋转、坐标系间的欧氏变换、变换矩阵、齐次坐标

结合 高翔老师的著作《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，加上小白的工程经验共同完成。建议作为笔记功能反复使用。

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1.刚体

   刚体不光有位置，还有自身的姿态。相机也可以看成三维空间的刚体，于是位置是指相机在空间中的哪个地方，而姿态则是指相机的朝向。

2.向量

   空间中某个向量的取值，一个是和向量本身有关，第二也和坐标系的选取有关。根据定义方式的不同，坐标系又分为右手系和左手系。左手系的第三个轴与右手系相反。就经验来讲，人们更习惯使用右手系，尽管也有一部分程序库仍使用左手系。

3.线性代数知识

• 向量与向量
• 向量与数

   例如：数乘、加法、减法、内积、外积等等。

   内积（ab) 可以描述向量间的投影关系。

   外积（a*b）的方向垂直于这两个向量，是两个向量张成的四边形的有向面积。对于外积，我们引入 ^ 符号，把a写成一个矩阵。你可以将 ^ 基层一个反对称符号。这样就把外积a*b，写成了矩阵向量的乘法a^b，把它变成了线性运算。外积只对三维向量存在定义，我们还能用外积表示向量的旋转。

4.向量的旋转

   在右手法则下，我们用右手的四个指头从 a 转向 b，其大拇指朝向就是旋转向量的方向，事实上也是a*b的方向。它的大小则有 a 和 b 的夹角决定。

5.坐标系间的欧氏变换

   描述两个坐标系之间的旋转关系，再加上平移，统称为坐标系之间的变换关系。在机器人的运动过程中，常见的做法是设定一个惯性坐标系（或者叫世界坐标系），可以认为它是固定不动的。同时，相机或机器人则是一个移动坐标系，相机视野中某个向量P，它的坐标为Pc，而从世界坐标系下看，它的坐标Pw。这两个坐标之间是如何转换的呢？这种转换关系由一个矩阵T来描述。

   相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。这种变换称为欧氏变换。这样一个欧氏变换由一个旋转和一个平移两部分组成。

    矩阵R由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。由于矩阵R，描述了旋转本身，因此它又称为旋转矩阵。事实上，旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。旋转矩阵可以描述相机的旋转。

6.变换矩阵

   关于变换矩阵T，它具有比较特别的结构：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为0向量，右下角为1.这种矩阵又称为特殊欧氏群。

7.齐次坐标

   我们把一个三维向量的末尾添加1，变成四维向量，称为齐次坐标。在齐次坐标中，某个点x的每个分量同乘一个非零常数k后，仍然表示同一个点。但当最后一项不为零时，我们总可以把所有坐标除以最后一项，强制最后一项为1，从而得到一个点唯一的坐标表示（也就是转化为非齐次坐标）。

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