[SLAM](3-1):旋转矩阵::刚体、向量、线性代数知识、向量的旋转、坐标系间的欧氏变换、变换矩阵、齐次坐标

结合 高翔老师的著作《视觉SLAM十四讲:从理论到实践》,加上小白的工程经验共同完成。建议作为笔记功能反复使用。


1.刚体

   刚体不光有位置,还有自身的姿态。相机也可以看成三维空间的刚体,于是位置是指相机在空间中的哪个地方,而姿态则是指相机的朝向。

2.向量

   空间中某个向量的取值,一个是和向量本身有关,第二也和坐标系的选取有关。根据定义方式的不同,坐标系又分为右手系和左手系。左手系的第三个轴与右手系相反。就经验来讲,人们更习惯使用右手系,尽管也有一部分程序库仍使用左手系。

3.线性代数知识

  • 向量与向量
  • 向量与数

   例如:数乘、加法、减法、内积、外积等等。

   内积(ab) 可以描述向量间的投影关系。

   外积(a*b)的方向垂直于这两个向量,是两个向量张成的四边形的有向面积。对于外积,我们引入 ^ 符号,把a写成一个矩阵。你可以将 ^ 基层一个反对称符号。这样就把外积a*b,写成了矩阵向量的乘法a^b,把它变成了线性运算。外积只对三维向量存在定义,我们还能用外积表示向量的旋转。

4.向量的旋转

   在右手法则下,我们用右手的四个指头从 a 转向 b,其大拇指朝向就是旋转向量的方向,事实上也是a*b的方向。它的大小则有 a 和 b 的夹角决定。

5.坐标系间的欧氏变换

   描述两个坐标系之间的旋转关系,再加上平移,统称为坐标系之间的变换关系。在机器人的运动过程中,常见的做法是设定一个惯性坐标系(或者叫世界坐标系),可以认为它是固定不动的。同时,相机或机器人则是一个移动坐标系,相机视野中某个向量P,它的坐标为Pc,而从世界坐标系下看,它的坐标Pw。这两个坐标之间是如何转换的呢?这种转换关系由一个矩阵T来描述。

   相机运动是一个刚体运动,它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。这种变换称为欧氏变换。这样一个欧氏变换由一个旋转和一个平移两部分组成。

    矩阵R由两组基之间的内积组成,刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。由于矩阵R,描述了旋转本身,因此它又称为旋转矩阵。事实上,旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之,行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。旋转矩阵可以描述相机的旋转。

6.变换矩阵

   关于变换矩阵T,它具有比较特别的结构:左上角为旋转矩阵,右侧为平移向量,左下角为0向量,右下角为1.这种矩阵又称为特殊欧氏群。

7.齐次坐标

   我们把一个三维向量的末尾添加1,变成四维向量,称为齐次坐标。在齐次坐标中,某个点x的每个分量同乘一个非零常数k后,仍然表示同一个点。但当最后一项不为零时,我们总可以把所有坐标除以最后一项,强制最后一项为1,从而得到一个点唯一的坐标表示(也就是转化为非齐次坐标)。


《视觉SLAM十四讲:从理论到实践》 PDF资源

下载链接:https://download.csdn.net/user/robot_starscream/uploads  仅供各位研究员试读,请购买纸质书籍。

你可能感兴趣的:(「,SLAM,」)