【数字逻辑】学习笔记 第三章 Part2 逻辑函数的化简

一、主要内容

问题的提出

• 同一个逻辑函数可以有多种表达形式；
• 一种形式的表达式，对应一种电路；
• 表达形式越复杂，则电路越复杂；

如何处理函数，以实现用尽量少的单元电路、尽量简单的电路类型来达到目的。即，逻辑函数要化简。

函数化简的目的

• 逻辑电路所用门的数量少，每个门的输入端个数少，降低成本；
• 逻辑电路构成级数少，保证逻辑电路能可靠地工作，提高电路的工作速度和可靠性。

函数化简的方法：

• 代数化简法（公式法）
• 卡诺图化简法

二、代数法化简逻辑函数

代数法化简逻辑函数的实质是反复运用逻辑代数的公式和规则，消去表达式中的多余项和多余变量。在用代数法化简逻辑函数时， 往往要依靠经验和技巧 ，带有一定的试凑性。

方法：

• 并项： 利用 $AB+A\overline{B}=A$ 将两项并为一项，且消去一个变量 $B$；
• 消项： 利用 $A+AB=A$ 消去多余的项 $AB$；
• 消元：利用 $A+\overline{A}B=A+B$ 消去多余变量 $\overline{A}$；
• 配项：利用 $AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C$ 和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项。

函数表达式一般化简成 与-或式 ，其最简应满足的两个条件：
1）表达式中“与”项的个数最少；
2）在满足1）的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。
$e.g.$ 化简$F=A\overline{C}+ABC+AC\overline{D}+CD$。
$$\begin{array}{rl}F& =A\overline{C}+ABC+AC\overline{D}+CD\\ & =A(\overline{C}+BC)+C(A\overline{D}+D)\\ & =A(\overline{C}+B)+C(A+D)\\ & =A\overline{C}+AB+AC+CD\\ & =A(\overline{C}+C)+AB+CD\\ & =A(1+B)+CD=A+CD\end{array}$$

实际上，我们最经常使用的是卡诺圈法，代数法化简常常作为结果的印证，我也就不麻烦的输入公式了，直接截图吧。

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三、卡诺图法化简逻辑函数

1. 卡诺图

卡诺图：是真值表的图形表示：

• 将变量分成两组，构成二维表；
• 行列组合排列顺序为循环码；
• 表中每个方格对应真值表中的一行，代表一个最小项。

$■$ 逻辑相邻性

• 相邻方格的最小项，具有 逻辑相邻性 ，即有一个变量互为反变量；
• 具有逻辑相邻性的方格有
  • 相接 —— 几何位置相邻的方格
  • 相对 —— 上下两边、左右两边的方格
  • 相重 —— 多变量卡诺图，以对称轴相折叠，叠在一起的方格（五变量）

2. 卡诺图填图

卡诺图有什么用？为什么要用循环码？

• 循环码：相邻两个码字有一位相反；
• 卡诺图：逻辑相邻项有一个变量互为反变量；
• 卡诺图中的两个逻辑相邻项相加可以消去一个变量。

用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。

1. 真值表填卡诺图

2. 表达式化为最小项表达式填卡诺图

对于 $F=\overline{A}B\overline{C}+ABD+AC$ 来说， 可以如下化简：
$$\begin{array}{rl}F& =\overline{A}B\overline{C}D+\overline{A}B\overline{C}\overline{D}+ABCD+AB\overline{C}D+A\overline{B}C\overline{D}+A\overline{B}CD+ABC\overline{D}+ABCD\\ & =m_5+m_4+m_{15}+m_{13}+m_{10}+m_{11}+m_{14}+m_{15}\\ & =\sum m(4,5,10,11,13,14,15)\end{array}$$

3. 表达式作为一般与或式填卡诺图

由一般与-或式填卡诺图示例1：三变量 $F=AB+\overline{A}C$
1.将所有满足 $A=1且B=1$的方格内填“1”
2.将所有满足 $A=0且C=1$ 的方格内填“1”

由一般与或式填卡诺图示例2：四变量 $F=BD+\overline{B}\overline{D}+A\overline{B}CD+\overline{B}C\overline{D}$
1.在所有满足 $B=1且D=1$ 的方格内填“1”
2.将所有满足 $B=0且D=0$ 的方格内填“1”
3.在所有满足 $A=1且B=0且C=1且D=1$ 的方格内填“1”
4.在所有满足 $B=0且C=1且D=0$ 的方格内填“1”

3. 函数的卡诺图化简

化简依据：相邻最小项 $\to$ 提出公因子 $\to$ 消去互补变量
$e.g.AB+A\overline{B}=A(B+\overline{B})=A$
$e.g.ABC+A\overline{B}C=AC(B+\overline{B})=AC$

方法：
1）填写函数卡诺图
2）对邻项方格画卡诺圈
3）消去互补变量，直接写出最简与-或式

1. 典型卡诺图

$e.g.$ 二变量卡诺图的典型卡诺圈

$e.g.$ 三变量卡诺图的典型卡诺圈

$e.g.$ 四变量卡诺图的典型卡诺圈

2. 函数的卡诺图化简

无效圈示例1：不是矩形

无效圈示例2：没有新变量，无效圈

写出每个卡诺圈的最小项表达式：保留卡诺圈内值不变的变量。$F=AB+BC$：

$F_1：F(A,B,C,D)=\sum m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)$

• 圈 $1$ ：函数的与-或表达式；
• 圈 $0$ ：反函数的与-或表达式(下面的左图：$\overline{F}=ABD$)
  
• 圈 $1$ ：函数的与-或表达式；
• 圈 $0$ ：函数的或-与表达式（此时保持不变为0的变量用原变量，为1用反变量）

需要注意的是：不同的圈法，会得到不同的最简结果：

3. 含有任意项的逻辑函数的化简

1. 任意项定义

一个逻辑函数，如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现，或者虽然每种输入取值组合都可能出现，但此时函数取值为1还是为0无关紧要，那么这些输入取值组合对应的最小项称为无关项或者任意项 。 任意项用 “d”或者 “ × ” 表示 。

任意项可以加到函数表达式中，也可以不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。

例1：十字路口红绿灯，设控制信号 $G=1\to$ 绿灯亮；控制信号 $R=1\to$ 红灯亮；则 $GR$ 可以为 $GR=00,01,10$ ，但 $GR\ne 11$ 。

例2：电动机正反转控制，设控制信号 $F=1\to$ 正传；控制信号 $R=1\to$ 反转；则 $FR$ 可以为 $FR=00,01,10$ ，但 $FR\ne 11$ 。

例3：$8421BCD$ 码中，从 $1010～1111$ 的六种编码不允许出现，可视为无关最小项。

2. 带有任意项的逻辑函数的化简方法

例1： 给定某电路的逻辑函数真值表如右图，求 $F$ 的最简"与或"式：

例2：已知真值表如右图，用卡诺图化简：

四、练习

1.用代数法化简逻辑函数
$$\begin{array}{rl}F& =AC+\overline{B}C+B\overline{D}+A(B+\overline{C})+\overline{A}C\overline{D}+A\overline{B}DE\\ & =A(C+\overline{C})+\overline{B}C+B\overline{D}+AB+\overline{A}C\overline{D}+A\overline{B}DE\\ & =A+\overline{B}C+B\overline{D}+\overline{A}C\overline{D}\\ & =A+(\overline{A}\overline{B}C\overline{D}+\overline{A}\overline{B}CD+A\overline{B}C\overline{D}+A\overline{B}CD)+(\overline{A}B\overline{C}\overline{D}+\overline{A}BC\overline{D}+AB\overline{C}\overline{D}+ABC\overline{D})+(\overline{A}BC\overline{D}+\overline{A}\overline{B}C\overline{D})\\ & =A+\overline{B}C+B\overline{D}\end{array}$$
2.用卡诺图化简一下函数：
（1）$F=BD+\overline{A}B\overline{C}+A\overline{C}D+\overline{A}CD+\overline{A}\overline{B}$
答：根据下面的卡诺图，化简函数为 $F=\overline{A}\overline{B}+\overline{A}\overline{C}+BD+\overline{C}D$

（2）$F(A,B,C,D)=\sum m(0,1,2,4,5,8,9,10,12,13)$
答：根据卡诺图，化简函数为：$F=\overline{C}+\overline{B}\overline{D}$

（3）$F(A,B,C,D)=\sum m(0,1,2,9,12)+\sum d(4,6,10,11)$
答：根据下面的卡诺图，化简函数为：$F=\overline{A}\overline{D}+B\overline{C}\overline{D}+\overline{B}\overline{C}D$

3.将以下的函数分别化简为最简与或式和最简或与式。
$F(A,B,C,D)=\sum m(2,3,5,6,7,10,11,13,14,15)$
答：根据下图，可得最简与或式为：$F=C+BD$；

根据下面的卡诺图，圈0得最简或与式为：$F=(C+D)(B+C)$