关于置换等价类计数

置换表示一一映射

轮换是指元素间的循环位移

则置换间的乘法满足结合律而不满足交换律

  不相交的轮换间乘法满足交换律和结合律

在不考虑顺序时 将置换分解成轮换的的形式值唯一的

 

考虑给你一些置换, 求不能通过置换转化的排列方案总数

定义可以通过置换互相转化的排列为一个等价类

则 所求即为等价类的个数

 

定义一个置换集合来表示等价关系

置换集合应满足任意两个置换的乘积也在该置换集合中

注:置换集合中包含自身置换

 

对于一个置换f, 定义其不定点为经过置换后不变的排列方案

Burnside引理:等价类个数等于所有置换的不定点个数的平均数

 

考虑求一个置换的不定点个数

将置换表示成轮换乘积的形式

一个排列是不定点, 当且仅当排列中同一轮换内的元素颜色相同

所有一个置换不定点的个数即为颜色数的轮换个数次幂

Polya定理:等价类个数等于所有置换的颜色数的轮换个数次幂的平均数

 

对于一个长度为n的置换 采用搜索O(n)求出轮换的个数即可

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