线性代数复习 第三章 向量

第三章 向量

3.1 向量

基本概念和运算法则

行向量通常用小括号表示，列向量通常用中括号表示，统称向量，用小写黑体字体代表。

线性组合

对于向量 β 和向量组 α1,α2,...,αn ，若存在一组常数 k1,k2,...,ks 使得

β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs

那么就可以称向量 β 是 αi 的线性组合，或者由其线性表示出来。

1. 零向量是任意组向量的线性组合，取 ki=0 即可
2. 向量组中的任意向量都是此向量组的线性组合
3. 任意一个 n 维向量 α=[a1,a2,...,an] 都是 n 维基本单位向量组
   ϵ1=(1,0,⋯,0),ϵ2=(0,1,⋯,0),⋯,ϵn=(0,0,⋯,1)
   的线性组合，即
   
   α=a1ϵ1+a2ϵ2+⋯+anϵn

线性相关和线性无关

对于一组向量 α1,α2,⋯,αs ，设 k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0 ，若当且仅当 k1=⋯=ks=0 上式才成立，那么称这组向量组是线性无关的，否则则是线性相关。

• 单个非零向量线性无关
• 含有零向量的向量组一定线性相关
• 基本单位向量组线性无关
• n+1 个 n 维的向量必定线性相关
• 向量组线性无关，其组成的矩阵行列式为零。

若一个向量组中的所有向量都可以用另一组向量线性表示出来，那么可以说这两个向量组是等价的。当然，两个向量组的向量个数可以不相同。

3.2 向量组的秩

极大线性无关组

从向量组 α1,α2,⋯,αs 中的 r 个向量组成的部分组 αj1,αj2,⋯,αjr 线性无关，且可以线性表示原向量组中的所有向量，那么这个 r 个向量就是原向量组的极大线性无关组，简称极大无关组。

• 极大无关组是不唯一的，但是向量的个数唯一
• 任一个向量组和其所有极大线性无关组等价

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向量组的秩

向量组 α1,α2,⋯,αs 的极大线性无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩，记作 r(α1,α2,⋯,αs)

注意下面的结论是充分而非必要的：

α1,⋯,αs和β1,⋯,βt等价⇒r(α1,⋯,αs)=r(β1,⋯,βt)

我猜想，可能是虽然两个向量组的秩相同，但是两组基底描述的不是同一个向量空间。

矩阵和向量组是等价的，只要把矩阵的行元素看成是向量组的行向量（列也同理）就可以了。所以向量组的秩，也是相应矩阵的秩。

3.3 向量空间

向量空间的概念

设 S 为实数域上的向量的集合，对于任意 x,y∈S ，必有 x+y∈S 的话，就认为 S 构成一个向量空间。

• 基：就是向量空间 S 的极大线性无关组
• 维数：和极大线性无关组的秩是一样的，即基中向量的个数
• 坐标：设 α∈Rn ，而 Rn 的一组基为 α1,α2,⋯,αs ，若 α=x1α1,⋯,xnαn=[α1,⋯,αs]x ，则 x=(x1,⋯,xn)T 就是向量 α 在上述基下的坐标。

两组基可以通过一个可逆矩阵 P 来转换，又叫两组基之间的过渡矩阵。

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有两个列向量 α=(a1,a2,⋯,an)T 和 β=(b1,b2,⋯,bn)T ，定义内积操作为：

(α,β)=αTβ=a1b1+⋯+anbn

若 (α,β)=αTβ=0 ，则称 α 和 β 正交。

向量长度定义为 |α|=(α,α)−−−−−√=a21+⋯+a2n−−−−−−−−−−√

假设有一组基 α1,α2,⋯,αs ，可以按照下面的 Schmidt 正交化方法，得到一组正交基。

β1β2⋮βn=α1=α2−α2,β1β1,β1β1=αn−αn,β1β1,β1β1−⋯−αn,βn−1βn−1,βn−1βn−1

那么得到的一组基 β1,⋯,βn 线性无关，且两两正交，即 (βi,βj)=0

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正交矩阵

设实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QQT=QTQ=E ，那么 Q 就可以称作是正交矩阵。

正交矩阵有很多的性质，

• Q 为正交矩阵 ⟺Q−1=QT
• 若 Q 为正交矩阵，则 Q 可逆，且 Q−1=QT
• 若 Q 为正交矩阵，那么 QT,Q−1,Q∗ 均为正交矩阵。
• 若 Q 为正交矩阵， |Q|=±1 ，只能取正负 1
• 若 P 和 Q 为正交矩阵，那么 PQ 为也是正交矩阵

若 Rn 中的一组的 n 个向量 η1,η2,⋯,ηn 两两正交，且都是单位向量，那么这 n 个向量就叫做是 Rn 的一组标准正交基。

一般标准正交基可以通过一组线性无关向量组，先进行Schmidt 正交化后得到正交基，再除以各自的行列式单位化得到。