“科林明伦杯”哈尔滨理工大学第十届程序设计竞赛——D.扔硬币【条件概率 & 乘法逆元】（附条件概率推导过程）

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题解

• 我们要求的是一个条件概率：在 事件B（：至少m个反面） 发生的情况下，求 事件A（：恰好k个正面） 发生的概率。
• 即求条件概率 $P(A|B)$，由条件概率公式得：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
• $P(AB)$ 实际上就是P(A)，所以所求变成了 $\frac{P(A)}{P(B)}$
• $P(A)=\frac{C_n^k}{2^n}$
• $P(B)=\frac{C_n^i}{2^n},i\in [m,n]$。
• 那么最后我们得到 $P(A|B)=\frac{C_n^k}{C_n^i},i\in [m,n]$
• $C_n^k$ 我们可以直接根据公式计算：$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
• 那么我们只需要预处理一下阶乘数组即可。
• 但是这样会超时，注意数据范围 $n<1e5,m<=1000$。
• 实际上，$P(B)$ 的分子 $C_n^i,i\in [m,n]$ 可以转化为：$2^n-C_n^i,i\in [0,m-1]$ 。这样就可以了
• 注意一下乘法逆元即可。
• 其实条件概率还有另一种计算方式：在缩小样本空间内计算：$事件概率=\frac{随机事件}{样本空间}$，这种方法的计算结果就是上述推导最后得到的结果。

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AC-Code

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;

ll q_pow(ll a, ll b, ll mod) { // 快速幂
    ll res = 1LL;
    while (b) {
        if (b & 1)  res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

ll inv(ll x) {
    return q_pow(x, mod - 2, mod);
}

ll factorial[MAXN] = { 1 }; // 阶乘

inline ll C(ll n, ll k) {
    return factorial[n] * inv(factorial[n - k] * factorial[k]%mod) % mod;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    factorial[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= MAXN - 7; ++i)
        factorial[i] = factorial[i - 1] * i % mod;;
    int t;  cin >> t;
    while (t--) {
        ll n, m, k;    cin >> n >> m >> k;
        if (k + m > n) {
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        ll a = C(n, k), b = q_pow(2, n, mod);
        for (int i = 0; i < m; ++i) 
            b = (b - C(n, i) + mod) % mod;
        cout << a * inv(b) % mod << endl;
    }
}