The Application of Eigenvectors and Eigenvalues to Differential Equations

文章目录

    • 微分方程的数学背景
    • $du/dt=Au$的解
    • 二阶微分方程
    • 矩阵A的指数次幂($e^{At}$)

微分方程的数学背景

  • 二阶常系数齐次线性微分方程: y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{''}+py^{'}+qy=0 y+py+qy=0
  1. p、q 是常数:这是常系数微分方程;不是常数:变系数微分方程
  2. 当 r 为常数的时候,指数函数 e r x e^{rx} erx和它的各阶derivative都只差一个常数因子。所以,我们用此函数取适当的系数,看是否能满足微分方程。
  3. y = e r x y=e^{rx} y=erx   y ′ = r e r x y^{'}=re^{rx} y=rerx   y ′ ′ = r 2 e r x y^{''}=r^{2}e^{rx} y=r2erx   代入方程:
    ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0
    因 为 e r x ̸ = 0 因为e^{rx}\not=0 erx̸=0,所以 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0叫做微分方程的特征方程,解出来的 r 1 r_1 r1 r 2 r_2 r2叫做特征根
特征根 r 1    r 2 r_1\space \space r_2 r1  r2 微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{''}+py^{'}+qy=0 y+py+qy=0的通解
两个不相等的实根 r 1    r 2 r_1\space \space r_2 r1  r2 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x
两个相等的实根 r 1 = r 2 r_1= r_2 r1=r2 ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x (C_1+C_2x)e^{r_1x} (C1+C2x)er1x
一对共轭复根 r 1 , 2 = α ± i β r_{1,2}=\alpha \pm i\beta r1,2=α±iβ y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)


d u / d t = A u du/dt=Au du/dt=Au的解

二阶微分方程

矩阵A的指数次幂( e A t e^{At} eAt

全见 introduction to linear algerbra 312页

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