Uva11762 Race to 1

题目大意：给一个正整数N，每次可以在不超过N的素数中随机选择一个P，如果P是N的约数，则把N变成N/p,否则N不变，问平均情况下需要多少次随机选择，才能把N变成1？比如N=3时答案为2，N=13时答案为6。

题目分析：易知从每个状态出发的所有转移概率之和为1。如f[6]有1/3的概率得到2,1/3的概率得到3,1/3的概率回到它本身。设f[i]表示当前的数为i时接下来需要选择的次数。则可以得到一个关于f[i]的公式，例如：f[6]=1+1/3*f[6]+1/3*f[3]+1/3f[2]。其中1表示第一次转移，即走一步。

得到公式：f[x]=1+f[x]*(1-g[x]/p[x])+sigma(f[x/y]*1/p[x]) 其中f[x/y]满足y时x的素因子。g[x]是x的因子，p[x]表示小等于x的素数个数。

等式变换：f[x]*g[x]/p[x]=1+sigma(f[x/y]*1/p[x])
                                f[x]=(p[x]+sigma(f[x/y]))/g[x]

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using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i=0;i--)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a))
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a))
#define INF (2139062143)
#define phiF (1000000006)
#define MAXN (1000000+10)
typedef long long LL;

bool u[1000005];
int n,p[1000005],g[1000005],tmp;
double f[1000005];
int main(){
	int T,Case(0);
	n=1000000;
	Fork (i,2,n) u[i]=1;
	Fork (i,2,1000)
	  if (u[i]) for (int j=i;j*i<=n;j++) u[i*j]=0;
	
	Fork(i,2,n)
	 if (u[i]) {
	 	p[++p[0]]=i;
	 	for (int j=1;i*j<=n;j++)
	 	 g[i*j]++;
	 }
	 For (i,n){
	 	tmp+=u[i];
	 	if (i>1) f[i]=(f[i]+tmp)/g[i];
	 	for (int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;j++) f[i*p[j]]+=f[i];
	 }
	 
	 scanf("%d",&T);
	
	while (T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: ",++Case);
		printf("%.10f\n",f[n]);
	}
	
}