同余幂的求解算法(原)

同余幂的求解算法

 

1. 问题描述

同余幂，公式表示为bⁿ mod m，即b的n次方对m取模。

 

2. 算法求解

2.1. 求解方法1

在日常工作中，可能会需要快速的求出同余幂bⁿ mod m，其中b，n，m都是比较大的整数。例如取b=12345678，n=456789，直接计算显然是不可行的，可以把n按二进制展开，则n=456789就变成了1101111100001010101，这样每次只需要求b mod m，b² mod m，... b^{2^(k-1)} mod m，然后把对应位置上的二进制是1的项乘起来，每次乘完后求除m的余数即可，大大降低了计算的复杂度。在《离散数学及其应用》里介绍了这种方法，用于密码学中。

伪代码如下：

procedure modular exponentiation(b:整数，n=(A(K-1)A(K-2)...A1A0)2(表示2进制展开),m:正整数) x := 1 power := b mod m for i:=0 to k-1 begin         if Ai=1 then x :=(x * power) mod m         power := (power * power) mod m end {x 等于 bn mod m}

下面是C++算法，VC6下通过编译。红色部分与参考的代码有出入，一些地方是为了通过编译，一些地方是对代码性能上的优化，请读者留意。

#include #include using namespace std;   int ModularExponentiation(int base, int exp_in_bin, int modular); vector baseBexpansion(int num, short b);   void main(){     //测试，2413的16进制展开应该是96D     //因为没有修改显示，所以会显示成9613     vector a = baseBexpansion(2413, 16);     //用迭代器显示结果       for(vector::iterator it = a.begin(); it != a.end(); it++){         cout<<*it;     }       cout<     //测试数据，981^937 mod 2537的结果应该是704     int x=ModularExponentiation(981, 937,2537);     cout< }   /**  * 计算 base^exp mod modular这个同余幂的值  * base：底数  * exp_in_bin：指数  * modular：模  * return： 同余幂  */ int ModularExponentiation(int base, int exp, int modular){     //把exp进行二进制展开     vector n = baseBexpansion(exp, 2);     int x = 1; //x = base^exp mod modular;       int power = base % modular;     for(int i = n.size() - 1; i > -1 ; i --){         if( n[i] ) { //if n[i] == i             //从二进制展开后的最右端开始求             x = (x * power)% modular;         }         //求b^(2^(k-1)) mod m的值         power = (power * power) % modular;     }       return x; }   /**   * 计算数字num的b进制展开形式的数组  * num：将被展开的数字  * b：数字展开的基  * return:数字展开后的向量，按照从左往右的顺序存储，如13的二进制展开为1101，存储的顺序也是{1,1,0,1}  */  vector baseBexpansion(int num, short b){     int q = num;     vector a;     while(q != 0){         a.push_back(q % b);         q /= b;     }       //反转a     int size = a.size();     int n = size/2;     int temp = 0;     for(int i = 0; i < n; i ++){         temp = a[i];         a[i] = a[size-1-i];         a[size-1-i] = temp;     }     return a; }

结论：该算法把求b的n次幂换成了求某个数的2次幂形式，大大降低了计算的复杂度。

 

2.2. 求解方法2

递归求解算法，VC6下已通过编译。

int ModularExponentiation(int b, int n, int m) {     if (n == 0)         return 1;     if (n == 1)         return (b % m);     if (n % 2 > 0) {         return (b * ModularExponentiation(b, n - 1, m)) % m;     } else {         int temp;         temp = ModularExponentiation(b, n / 2, m);         return (temp * temp) % m;     } }

 

3. 参考文献

同余幂的原理和C++实现，附赠一个10进制数转换为任意进制的数组的算法．http://blog.csdn.net/cecilulysess/archive/2009/11/12/4801969.aspx

同余幂与康托展开．http://bomb23.blogbus.com/logs/42037791.html