离散数学第二部分（四、五、七）

第四章 集合

一、集合的基本概念

（1）、常用数集及代表的特号

符号	数集
N	自然数集
Q	有理数集
C	负数集
R	实数集
Z	整数集
Z+	正整数集
Q_	负有理数集
Q+	正有理数集

（2）、集合符号
子集：⊆
真子集：⊊

（3）、定理

对任意集合A，必有∅ ⊆ A。
空集是唯一的，全集一般记为E。
若A是具有n个元素的有限集，则A的幂集P（A）有2ⁿ个元素。
补集（差集或相对补），A—B ，S= A—B = { x | x∈ A ∧ x∉ B}
对称差，S = A ⊕ B = { x | （x∈ A ∨ x∈ B）∧（x∉ A ∩ B）} = { x | （ x∈（A—B）∨ x∈（B—A）}

二、集合的运算

（1）、性质
A ⊕ B = B ⊕ A
A ⊕ ∅ = A
A ⊕ A = A
A ⊕ B = （A ∩ ~B） ∪ （~ A ∩ B） = （A ∪ B）—（A ∩ B）
（A ⊕ B）⊕ C = A ⊕ （B⊕ C）
A ∪ B = （A ⊕ B） ∪ （A ∩ B）

三、有序对与笛卡儿积

（1）、有序对
两个有序对相等， = ，当且仅当 x = u且y = v。

（2）、笛卡儿积（直积）
笛卡儿积的符号化：A x B = { | x ∈ A ∧ y ∈ A}

运算性质：
1、A x ∅ = ∅，∅ x A = ∅
2、笛卡儿积不满足交换律
3、笛卡儿积不满足结合律

（3）、若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则A x B有m * n个元素。

（4）、设A、B、C为任意三个集合，则有：
A x （B ∪ C）= （A x B）∪（A x C）
A x （B ∩ C）= （A x B）∩ （A x C）

（5）、四个非空集合，则A x B ⊆ C x D的充要条件为 A ⊆ C且B ⊆ D。

第五章 关系与函数

一、关系及关系的性质

（1）、关系的定义
设A、B是任意两个集合，A x B的子集R称为从A到B的二元关系，简称为关系。

当A = B 时，称R为A上的关系。

（2）、对任意的集合A，

称E = { | x ∈ A ∧ y ∈ A} = A x A为A上的全域关系或全关系。
称I = { | x ∈ A} 为A上的恒等关系。
若A上的关系R = ∅，称为A上的空关系。

（3）、关系的定义域、值域、域

R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，domR
domR = {x | ∃y（ ∈ R）}；

R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，ranR
ranR = {x | ∃x（ ∈ R）}；

R的定义域和值域的并集称为R的域，记为fldR：
fldR = domR ∪ ranR；

（4）、关系的性质
设R是集合A上的二元关系

如果对∀a ∈ A，必有aRa，则称关系R在A上是自反的；
如果对∀a ∈ A，必有aR（/）a，则称关系R在A上是反自反的；
对∀a，b ∈ A，若有aRb，必有bRa，则称关系R在A上是对称的；
对∀a，b ∈ A，若有aRb且bRa必有 a=b，则称关系R在A上是反对称的；
对∀a，b，c ∈ A，若有aRb且bRc必有 aRc，则称关系R在A上是传递的；

反对称关系：若有aRb且a ≠ b，必有 bR（/）a。

通过关系矩阵和关系图给予验证

1、若关系R是自反的，在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是1，在关系图上每个顶点都有到自身的有向边。
2、若关系R是反自反的，在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是0，在关系图上每个顶点都没有到自身的有向边。
3、若关系R是对称的，当且仅当关系矩阵是对称矩阵，且在关系图上，任何两个顶点间，若存在有向边，必然成对出现。
4、若关系R是反对称的，当且仅当关系矩阵中r ij * r ji = 0，即主对角线为对称的两个元素不能同时为1，且在关系图上，任何两个顶点间存在有向边，但不会成对出现。

二、关系的运算

（1）、关系的运算
设关系R是从X到Y的二元关系，将R中每一个二元组中的元素顺序互换，所得的集合称为R的逆关系（R的逆），记作R^-1，R^-1 = { | ∈ R}。

（R^-1）^-1 = R
（R 1 ∪ R 2）^-1 = R 1^-1 ∪ R 2^-1
（A X B）^-1 = B X A
domR^-1 = ranR
ranR^-1 = domR

（2）、复合关系
设R为A到B的关系，S为B到C的关系，则R ^。S称为R和S的复合关系，表示为R ^。S = { | ∃ t（ ∈ R >∧ ∈ R }。

（3）、关系的闭包
设R是非空集合A上的二元关系，若关系R^/满足下列条件：

1、R^/是自反的（对称的或传递的）。
2、R ⊆ R^/
3、对于A上的任何包含R的自反的（对称的或传递的）关系R^//，有R^/ ⊆ R^//，称为R^/为R的自反（对称的或传递的）闭包，记作r（R）（s（R）或t（R））

r（R）= R ∪ I A(A是下标)
s（R）= R ∪ R^-1
t（R） = R ∪ R² ∪···· ∪ Rⁿ，其中n是集合A中的元素的数目。

三、等价关系与序关系

（1）、相容关系：集合A上的关系p，若p是自反的、对称的。

（2）、等价关系：设R为非空集合A上的关系，若R是自反的、对称的和传递的。

（3）、设A是一个非空集合，如果A上的关系R满足自反性、反对称性及传递性，则称R是A上的一个偏序关系，记作“≤”。

（4）、表示偏序关系的关系图称为哈斯图

1、A中每个元素可用顶点表示；
2、∀a，b ∈ A，若a < b，则将a画在b的下方；
3、∀a，b ∈ A，若b覆盖a，则在a与b之间画一条边；
4、哈斯图中省略从顶点到自身的边。

（5）、设集合A上的二元关系R若是反自反和传递的，称R为A上的拟序关系。（R必为反对称的）

（6）、设 ≤ 是非空集合A上的偏序关系，对∀a，b ∈ A，若必有 a ≤ b 或 b ≤ a，则称R为A上的全序关系。

（7）、设为一个偏序集，对于B ⊆ A，若a为B的任一上界，且对B的所有上界y，均有a ≤ y，则称a为子集B的最小上界，若b为子集B的任一下界，若对B的所有下界z，均有z ≤ b，则称b为子集B的最大小界。

四、函数

（1）、函数
设F为二元关系，若∀x ∈ domF都存在唯一的y ∈ ranF，使得xFy成立，则称F为函数，也称为映射，y = F（x）。

从x到y的函数F，记为F：x → y。

设X，Y为集合，所有从X到Y的函数构成的集合记作Y^x，表示为：Y^x = {f | f：X → Y}。

（2）、单射、满射、双射

1、单射（入射）函数：函数f称为一对一的，当且仅当对于f定义域中的所有x和y，f（x）= f（y）。
2、 满射函数：若 函数f：X → Y，当且仅当对∀y∈ Y，都有x ∈ X使得f（x）= y。
3、双射函数：若 函数f：X → Y，函数 f 既是满射的又是单射的，则称为f为一一对应的。

反函数：f（x） = y时，f^-1（y）= x.
设 f：X → Y是双射函数，f^-1是 Y → X的双射函数。

（3）、复合函数（合成函数）
设f：X → Y，g：Y → Z，函数 f 和 g 的复合 f ^。g （x） = g（f（x））
表示为：
f ^。g （x）= { | （x∈ X）∧（z∈ Z）∧ ∃y（y∈ Y ∧ y =f（x）∧ z = g（y）） }

复合函数不满足交换律，即 f ^。g ≠ g ^。 f。

设f：X → Y是双射函数，g：Y → Z是双射函数
f ^{-1 。}f = Iy ，f ^。f ^-1 = Ix
（f ^-1 ）^-1 = f
（f ^。g）^-1 = f ^{-1 。}g^-1

设f：X → Y，g：Y → Z，f ^。g ： X → Z。
若 f 和 g 都是满射的，则复合函数f ^。g 也是满射的。
若 f 和 g 都是单射的，则复合函数f ^。g 也是单射的。
若 f 和 g 都是双射的，则复合函数f ^。g 也是双射的。

第七章 格与布尔代数

一、格的基本概念

（1）、格的定义
设是一个偏序集，对∀a，b ∈ A，子集{a，b}在A中都有最大下界（（下确界），记为inf{a，b}）和最小上界（（上确界），记为sup{a，b}），则称为格。

对偶命题，将符号替换成相反符号，如果命题P对一切格L为真，则P的对偶命题也对一切格为真。
全序集肯定是格，但并不是所有的偏序集都是格。

（2）、格的性质

1、在一个格 中，对∀a，b ∈ A，都有
a ≤ a ∨ b，b ≤ a ∨ b
a ∧ b ≤ a，a ∧ b ≤ b

2、在一个格 中，对∀a，b，c ∈ A，都有
a ≤ b 且 a ≤ c => a ≤ b ∧ c
b ≤ a 且 c ≤ a => b ∨ c ≤ a

3、在一个格 中，对∀a，b，c，d ∈ A，如果
a ≤ b 且 c ≤ d，则 a ∨ c ≤ b ∨ d 且 a ∧ c ≤ b ∧ d

二、分配格与有补格

（1）、分配格
设是格，若对∀a，b，c ∈ A，满足
a ∧ （b ∨ c）= （a ∧ b）∨（a ∧ c）
a ∨ （b ∧ c）= （a ∨ b）∧（a ∨ c）
则称是分配格。

格L是分配格，当且仅当L中不含有与钻石格或五角格同构的子格。
小于五元的格都是分配格。
任意一条链都是分配格。

（2）、有补格
设是一个格，如果存在元素a ∈ A，对于∀x ∈ A，都有a ≤ x，则称a为格的全下界。如果存在元素b ∈ A，对于∀x ∈ A，都有x ≤ b，则称b为格的全上界。

设是一个格，若A存在全下界和全上界，则称A为有界格，记作.

全下界记为0，全上界记为1
钻石格和五角格都是有界格，任何有限格L也是有界格。

设是有界格，a ∈ A，若存在b ∈ A，使得a ∨ b = 1，且a ∧ b = 0，称为b是a的补元。

设是有界分配格，a ∈ A，且对于a存在补元b，则b是a的唯一补元。

设是有界格，∀a ∈ A，在A中都有a的补元存在，则A称为有补格。

三、布尔代数

（1）、布尔代数

如果一个格是有补分配格，则称为布尔代数或布尔格。

设代数系统/，0，1>，其中B至少包含两个元素，∧和∨为B上的两个二元运算，^/为B上一元运算，对∀a，b，c ∈ B满足

交换律
分配律
存在零元，使a ∨ 0 = a，a ∧ 0 = 0，存在单位元1，a ∧ 1 = a，a ∨ 1 = 1（同一律）
a^/ ∈ B，使 a ∧ a^/ = 0，a ∨ a^/ = 1（补元律）
则称为布尔格。

设/，0，1>是布尔代数，则
∀a ∈ B，（a^/）^/ = a
∀a，b ∈ B，（a ∧ b）^/ = a^/ ∨ b^/