FWT 总结

FWT

快速沃尔什变换，简写FWT，变换肯定会想到FFT，和其相似，FWT同样是用于求解某些特定的卷积的。
FFT求解的问题一般可以化成如下形式
$$C_k={\Sigma }_{i+j=k}{A}_i\ast B_j$$
但是会发现，如果求解的$C_k$中$k$的条件变成$i|j=k$ , $i\&j$ 或者$i⨁j$就没有办法计算，所以我们需要使用FWT来解决这类问题。
关于FWT的证明就不写了，我们可以通过其结论可知

$or$的FWT满足

$$FWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))$$
中间的$A_0,A_1$分别表示$A$的前$2^{n-1}$和后$2^{n-1}$部分，其实这个结论也可以通过感性认识一下，因为进行的是或操作，显然如果将$A_0$中的某一项和$A_1$中的某一项进行计算，得到的结果只能够影响到$FWT(A_1)$的部分，对于$FWT(A_0)$没有贡献，所以可以得到这个结论。
而根据
$$FWT(A+B)=FWT(A)\ast FWT(B)$$
我们就可以得到
$$FWT(A|B)=FWT(A)\ast FWT(B)$$的结论，也就证明了FWT的正确性。

$and$的FWT满足

$$FWT(A)=(FWT(A_0+A_1),FWT(A_1))$$

$xor$的FWT满足

$$FWT(A)=(FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1))$$
这两个部分同样可以经过操作证明FWT的正确性。

void FWT_or(int *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
                if(opt==1)a[i+j+k]=(a[j+k]+a[i+j+k])%MOD;
                else a[i+j+k]=(a[i+j+k]+MOD-a[j+k])%MOD;
}
void FWT_and(int *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
                if(opt==1)a[j+k]=(a[j+k]+a[i+j+k])%MOD;
                else a[j+k]=(a[j+k]+MOD-a[i+j+k])%MOD;
}
void FWT_xor(int *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=(X+Y)%MOD;a[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
                if(opt==-1)a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%MOD,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%MOD;
            }
}

代码和思路来源于https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9065615.html

题目总结

HDU5909 Tree Cutting

简单来讲就是给你一棵树，每个点有权值$V_i$，定义树上联通块的权值$S_k={⨁}_{i=1..size(k)}{V}_i$，求问有多少个联通块的权值为$i$。
首先不难看出这个问题是一道树形dp，记$f[i][j]$表示以$i$为根的子树中，联通块值为$j$的数目，如果直接暴力合并子树的话，复杂度为$O(N^3)$，如果在合并异或的时候，我们使用FWT，复杂度就会降成$O(N^{2}lo{g}_{2}N)$。

#include 
#define rep( i , l , r ) for( int i = (l) ; i <= (r) ; ++i )
#define per( i , r , l ) for( int i = (r) ; i >= (l) ; --i )
#define erep( i , u ) for( int i = head[(u)] ; ~i ; i = e[i].nxt )
using namespace std;
const int maxn = 1111 , maxm = 1111 , MOD = 1e9 + 7 , inv2 = 5e8 + 4;
int head[maxn] , _t = 0;
struct edge{
	int v , nxt;
}e[maxn << 1];
inline void addedge( int u , int v ){
	e[_t].v = v , e[_t].nxt = head[u] , head[u] = _t++;
	e[_t].v = u , e[_t].nxt = head[v] , head[v] = _t++;
}

int f[maxn][maxm] , ans[maxm];

void FWT( int *a , int N , int inv ){
	for( int i = 1 ; i < N ; i <<= 1 )
		for( int p = i << 1 , j = 0 ; j < N ; j += p )
			for( int k = 0 ; k < i ; ++k ){
				int X = a[j + k] , Y = a[i + j + k];
				
				a[j + k] = (X + Y) % MOD;
				a[i + j + k] = (X + MOD - Y) % MOD;
				if( inv == -1 ){
					a[j + k] = 1ll * a[j + k] * inv2 % MOD;
					a[i + j + k] = 1ll * a[i + j + k] * inv2 % MOD;
				}
			}
}
int N , M;
void dfs( int u , int fa ){
	FWT( f[u] , M , 1 );
	erep( i , u ){
		int v = e[i].v;
		if( v == fa ) continue;
		dfs( v , u );
		for( int i = 0 ; i < M ; ++i ) f[u][i] = (f[u][i] * f[v][i]) % MOD;
	}
	FWT( f[u] , M , -1 );
	if( ++f[u][0] == MOD ) f[u][0] -= MOD;
	FWT( f[u] , M , 1 );
}
inline int _read(){
	int x = 0 , f = 1;
	char ch = getchar();
	while( ch > '9' || ch < '0' ){
		if( ch == '-' ) f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while( '0' <= ch && ch <= '9' ){
		x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return x * f;
}

int main(){
	int T = _read();
	while( T-- ){
		N = _read() , M = _read();
		memset( f , 0 , sizeof f );
		memset( head , 0xff , sizeof head );
		memset( ans , 0 , sizeof ans );
		rep( i , 1 , N ) f[i][_read()] = 1;
		_t = 0;
		int u , v;
		rep( i , 1 , N - 1 ){
			u = _read() , v = _read();
			addedge( u , v );
		}
		dfs( 1 , -1 );
		for( int i = 1 ; i <= N ; ++i ) FWT( f[i] , M , -1 );
		for( int i = 1 ; i <= N ; ++i )
			if( --f[i][0] < 0 ) f[i][0] += MOD;
		
		for( int i = 1 ; i <= N ; ++i ){
			for( int j = 0 ; j < M ; ++j ){
				ans[j] = (ans[j] + f[i][j]) % MOD;
			}
		}
		
		for( int i = 0 ; i < M ; ++i ){
			printf("%d",ans[i]) , putchar(i==M-1?'\n':' ');
		}
	}
	return 0;
}