容斥原理（翻译）
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UPD 9.6：感谢原作者的回复，一些错误已经被修正了。
容斥原理
原作：e-maxx(Russia) 发表于 2011.8.25
翻译：vici
对容斥原理的描述
容斥原理是一种重要的组合数学方法，可以让你求解任意大小的集合，或者计算复合事件的概率。
描述
容斥原理可以描述如下：
要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
关于集合的原理公式
上述描述的公式形式可以表示如下：
它可以写得更简洁一些，我们将B作为所有Ai的集合，那么容斥原理就变成了：
这个公式是由 De Moivre (Abraham de Moivre)提出的。
关于维恩图的原理
用维恩图来表示集合A、B和C：
那么
的面积就是集合A、B、C各自面积之和减去
, 
, 
的面积，再加上
的面积。
由此，我们也可以解决n个集合求并的问题。
关于概率论的原理
设事件
，
代表发生某些事件的概率（即发生其中至少一个事件的概率），则：
这个公式也可以用B代表Ai的集合：
容斥原理的证明
我们要证明下面的等式：
其中B代表全部Ai的集合
我们需要证明在Ai集合中的任意元素，都由右边的算式被正好加上了一次（注意如果是不在Ai集合中的元素，是不会出现在右边的算式中的）。
假设有一任意元素在k个Ai集合中（k>=1），我们来验证这个元素正好被加了一次：
当size(C)=1时，元素x被加了k次。
当size(C)=2时，元素x被减了C(2,k)次，因为在k个集合中选择2个，其中都包含x。
当size(C)=3时，元素x被加了C(3,k)次。
……
当size(C)=k时，元素x被加/减了C(k,k)次，符号由sign(-1)^(k-1)决定。
当size(C)>k时，元素x不被考虑。
然后我们来计算所有组合数的和。
由二项式定理，我们可以将它变成：
我们把x取为1，这时
表示1-T（其中T为x被加的总次数），所以
，证明完毕。
对于实际问题的应用
容斥原理的理论需要通过例子才能很好的理解。
首先，我们用三个简单的例子来阐释这个理论。然后会讨论一些复杂问题，试看如何用容斥原理来解决它们。
其中的“寻找路径数”是一个特殊的例子，它反映了容斥问题有时可以在多项式级复杂度内解决，不一定需要指数级。
一个简单的排列问题
由0到9的数字组成排列，要求第一个数大于1，最后一个数小于8，一共有多少种排列？
我们可以来计算它的逆问题，即第一个元素<=1或者最后一个元素>=8的情况。
我们设第一个元素<=1时有X组排列，最后一个元素>=8时有Y组排列。那么通过容斥原理来解决就可以写成：
经过简单的组合运算，我们得到了结果：
然后被总的排列数10!减，就是最终的答案了。
（0,1,2）序列问题
长度为n的由数字0，1，2组成的序列，要求每个数字至少出现1次，这样的序列有多少种？
同样的，我们转向它的逆问题。也就是不出现这些数字的序列 不出现其中某些数字的序列。
我们定义Ai(i=0…2)表示不出现数字i的序列数，那么由容斥原理，我们得到该逆问题的结果为：
可以发现每个Ai的值都为2^n（因为这些序列中只能包含两种数字）。而所有的两两组合
都为1（它们只包含1种数字）。最后，三个集合的交集为0。（因为它不包含数字，所以不存在）
要记得我们解决的是它的逆问题，所以要用总数减掉，得到最终结果：
方程整数解问题
给出一个方程：
其中
。
求这个方程的整数解有多少组。
我们先不去理会xi<=8的条件，来考虑所有正整数解的情况。这个很容易用组合数来求解，我们要把20个元素分成6组，也就是添加5块“夹板”，然后在25个位置中找5块“夹板”的位置。
然后通过容斥原理来讨论它的逆问题，也就是x>=9时的解。
我们定义Ak为xk>=9并且其他xi>=0时的集合，同样我们用上面的添加“夹板”法来计算Ak的大小，因为有9个位置已经被xk所利用了，所以：
然后计算两个这样的集合Ak、Ap的交集：
因为所有x的和不能超过20，所以三个或三个以上这样的集合时是不能同时出现的，它们的交集都为0。最后我们用总数剪掉用容斥原理所求逆问题的答案，就得到了最终结果：
求指定区间内与n互素的数的个数：
给出整数n和r。求区间[1;r]中与n互素的数的个数。
去解决它的逆问题，求不与n互素的数的个数。
考虑n的所有素因子pi(i=1…k)
在[1;r]中有多少数能被pi整除呢？它就是：
然而，如果我们单纯将所有结果相加，会得到错误答案。有些数可能被统计多次（被好几个素因子整除）。所以，我们要运用容斥原理来解决。
我们可以用2^k的算法求出所有的pi组合，然后计算每种组合的pi乘积，通过容斥原理来对结果进行加减处理。
关于此问题的最终实现：
int solve (int n, int r) {
vector<int> p;
for (int i=2; i*i<=n; ++i)
if (n % i == 0) {
p.push_back (i);
while (n % i == 0)
n /= i;
}
if (n > 1)
p.push_back (n);
int sum = 0;
for (int msk=1; msk<(1<<p.size()); ++msk) {
int mult = 1,
bits = 0;
for (int i=0; i<(int)p.size(); ++i)
if (msk & (1<<i)) {
++bits;
mult *= p[i];
}
int cur = r / mult;
if (bits % 2 == 1)
sum += cur;
else
sum -= cur;
}
return r - sum;
}
算法的复杂度为 
。
求在给定区间内，能被给定集合至少一个数整除的数个数
给出n个整数ai和整数r。求在区间[1;r]中，至少能被一个ai整除的数有多少。
解决此题的思路和上题差不多，计算ai所能组成的各种集合（这里将集合中ai的最小公倍数作为除数）在区间中满足的数的个数，然后利用容斥原理实现加减。
此题中实现所有集合的枚举，需要2^n的复杂度，求解lcm需要O(nlogr)的复杂度。
能满足一定数目匹配的字符串的个数问题
给出n个匹配串，它们长度相同，其中有一些’?’表示待匹配的字母。然后给出一个整数k，求能正好匹配k个匹配串的字符串的个数。更进一步，求至少匹配k个匹配串的字符串的个数。
首先我们会发现，我们很容易找到能匹配所有匹配串的字符串。只需要对比所有匹配串，去在每一列中找出现的字母（或者这一列全是’?’，或者这一列出现了唯一的字母，否则这样的字符串就存在），最后所有字母组成的单词即为所求。
现在我们来学习如何解决第一个问题：能正好匹配k个匹配串的字符串。
我们在n个匹配串中选出k个，作为集合X，统计满足集合X中匹配的字符串数。求解这个问题时应用容斥原理，对X的所有超集进行运算，得到每个X集合的结果：
此处f(Y)代表满足匹配集合Y的字符串数。
如果我们将所有的ans(X)相加，就可以得到最终结果：
这样，就得到了一个复杂度
的解法。
这个算法可以作一些改进，因为在求解ans(X)时有些Y集合是重复的。
回到利用容斥原理公式可以发现，当选定一个Y时，所有 
中X的结果都是相同的，其符号都为
。所以可以用如下公式求解：
这样就得到了一个复杂度
的解法。