行列式及其性质

行列式(determinant)是方阵的一个重要特征,常记作detA或者|A|,其包含了矩阵的很多重要信息。行列式为0,则矩阵不可逆,否则矩阵可逆,所以行列式可用来检验矩阵的可逆性。这篇文章主要介绍行列式的10个性质。

性质1:单位矩阵的行列式为1

性质2:如果交换矩阵的两行,则行列式的符号要取反。从这个性质我们可得出置换矩阵的行列式总是为1或-1,这取决于行交换的次数,行交换奇数次则为-1,偶数则为1。

性质3.1:如果用某数t乘以矩阵的一行,则行列式等于原行列式的t倍,即 

性质3.2:

注意性质3两个性质都是关于行的线性,并不是整个矩阵的线性。而且我这里举例用了第一行,其实对其他行也是这样的性质,但是不管怎样不能同时组合第1行和第2行。

性质4:如果矩阵中有两行相等,那么行列式为0。假设m*n的矩阵A中,第2行和第3行相等,交换第2行和第3行,矩阵不变,但是根据性质2行列式符号会取反,也就是|A|=-|A|,则|A|=0,可以看到这跟结论有两个行相等的矩阵不可逆是一致的。

性质5:从矩阵的行k减去行i的l倍,行列式不会改变,即消元过程不改变行列式。根据性质3.2可证明这个性质:

性质6:若矩阵中有一行是全0,则|A|=0。根据性质3.1,取t=0即可证明。

性质7:三角阵的行列式等于对角线元素乘积。现假设有上三角阵 ,这个矩阵很常见,因为通过消元总能得到这样的三角阵,det(U)=d1d2…dn,实际上matlab中也是根据这种方法求行列式的。假设主元都不为0,我们可以再对U向上消元,那么星号的地方都会被消为0,此时我们再利用性质3就可得到:

但是如果主元位置上出现0,我们将得到全零行,利用性质6,则行列式为0。根据性质7,我们掌握了一种求解行列式的方法,即消元。比如对于我们所熟知的 ,根据消元法有 ,也能得出其行列式为ad-bc。

 

性质8:当且仅当A是奇异阵时,detA=0,否则就是非奇异阵。

性质9:detAB=det(A)det(B)。但是要注意行列式不具有加法性质,即不成立det(A+B)=detA+detB,性质9是非常有用的公式,比如说通过性质9我们可以求的行列式,,所以;另外如果A是对角阵,比如A=  ,那么根据性质9我们可以快速写出A-1=  ;此外还有,既然前面提到det(A+B)=detA+detB不成立,那么如果矩阵乘以2行列式会变为多少呢?根据性质3.1有行列式,其中A是n*n的矩阵,这就像求体积,对于一个立方体,令每条边乘以2,体积是2的n次方倍,对于三维的立方体,体积就是原来的8倍。

性质10:。这个性质表明前面所说的所有对行的性质,对列也是成立的。例如,如果存在全零列,行列式也为0。

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