pow函数与快速幂（优化)(O(logn)的复杂度）

我们发现，在int型下使用pow函数求5的三次方，结果为124。

如图：

 

原因：

pow函数的返回值为double型，因浮点数长度问题，存在截断误差。

 

 

解决方法：

将变量定义为double型

 

 

有没有更快求幂的方法？

 假设我们要求a^b，按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)，即是O(n)级别。但快速幂能做到O(logn)的复杂度。

 

快速幂：

 

 

对于二进制的位运算，我们需要用到"&"与">>"运算符，详见位运算符的应用。

先上实现快速幂运算的具体代码：

int qsm(long long m, long long k, long long p)     //(m^k)%p
{
    long long res = 1, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

LL quickPow(LL a,LL b,LL mod)          //  //(a^b)%mod
{
    LL res=1;
    while(b>0){
        if(b&1)
            res=(res%mod*a%mod)%mod;
        b>>=1;
        a=(a%mod*a%mod)%mod;
    }
    return res;
}

其中“b & 1”指取b的二进制数的最末位，如11的二进制数为1011，第一次循环，取的是最右边的“1” ，以此类推。

而“b >>= 1”等效于b = b >> 1，即右移1位，删去最低位。

 

以a^11为例：

b的二进制数为1011，二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base *= base目的是累乘，以便随时对ans做出贡献。

要理解base *= base这一步：因为base * base == base ^ 2，下一步再乘，就是(base ^ 2) * (base ^ 2) == base ^ 4，然后同理(base ^ 4) * (base ^ 4) == base ^ 8，由此可以做到base → base ^ 2 → base ^ 4 → base ^ 8 → base ^ 16 → base ^ 32.......指数正好是 2 ^ i 。再看上面的例子，a¹¹= (a ^ 1) * (a ^ 2) * (a ^ 8)，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。