数论中群的概念

定义（群）设G为某种元素组成的一个非空集合，若在G内定义一个称为乘法的运算“·”，满足以下条件：
（1）（封闭性）有；
（2）（结合性），有a·（b·c）=（a·b）·c；
（3）在G中有一个元素e，对G中任意元素g，有e·g=g·e=g，元素e称为单位元；

  (4）对G中任一元素g都存在G中的一个元素g'，使得g·g'=g'·g=e，g称为可逆元，g'称为g的逆元，记作，

则称G关于“·”形成一个群（Group），记作（G，·），通常在不混淆的情况下省略”.”，用G来表示一个群，a·b也简记为ab。

 

关于群的定义，我们特别需要注意以下几点：
（一）群的概念与所采用的表述方式无关，关键在于运算所满足的抽象性质。例如，定义中的乘法运算“·”也可以称为加法运算“十”，只要依据该运算的定义，条件（1），（2），（3），（4）均成立即可。此时，“a·b”相应可记为“a+b”，（3）中的单位元习惯上称为零元，（4）中“g”记为“一g”，称为负元。

（二）运算“。”和“十”均是抽象运算，并不只是我们熟知的数之间的乘法和加法。非空集合G中的元素形式多样，可以是数、集合、矩阵等研究对象。 

 

经常看到各种群吓唬我，先把常见的各种群的定义罗列如下：

Abel群或交换群：群中的运算满足交换律的群 

半群：非空集合G满足条件（1）和（2），则称G为半群

含幺半群：非空集合G满足条件（1），（2）和（３），则称G为含幺半群

 

举几个栗子：

全体非零实数R*对于通常意义下的乘法形成一个群，因为该乘法满足封闭性和结合性，有单位元1，对任意aR*，有。通常意义下的乘法又满足交换律，故（R*，.）是一个乘法交换群。同样全体非零有理数集Q*，非零复数集C*对于通常意义下的乘法也构成乘法交换群。由于它们的元素个数并非有限，因而它们均是无限群。

有理数集Q，实数集R和复数集C对通常意义下的加法构成了加法交换群，单
|位元为0，每个元素a的逆元为一么。

整数集Z对通常意义下的加法构成加法交换群，单位元为0，每个元素a的逆元为一a。

非零整数集=Z＼｛０｝对通常意义下的乘法，满足封闭性、结合性、交换律，也有单位元1，但不是每个元素都有逆元，因此对通常意义下的乘法不构成一个群。

 

群G中元素的个数称为G的阶，记作｜G｜，若｜G｜＜＋，则称群G为有限群；若｜G｜＞＋，则称群G为无限群。

 

定义：设H为群G的一个非空子集，若H对G的运算“·”也构成群，则称H为群G的子群，记作H≤G。

由子群的定义知，H={e}和H=G都是群G的子群，称之为群G的平凡子群。如果H不是群G的平凡子群，即{e}HG，则称H为群G的真子群。

再举个栗子：

所有偶数的集合是整数加法群Z的子群。一般的，nZ={nk|k∈Z}是Z的子群。

在通常意义的加法运算下，Z≤Q≤R≤C；在通常意义的乘法运算下，Q*≤R*≤C*。

 

定义：群G由一个元素a生成时，称为循环群（Cyclic Group），记为G=。

举个栗子：

=<2>=<4>,即为4阶循环群，2和4均为其生成元。事实上，由群中乘法定义知

=2 mod 5=2

=4 mod 5=4

=8 mod 5=3

=16 mod 5=1

即由2可以生成群，同理由4也可以生成群。

定义：设G为群，，则使成立的最小正整数n称为元素a的阶，记作ord(a)。如果不存在这样的正整数n，则称元素a为无限阶元。

整数加法群(Z,+)中除了元素0外，其余元素均为无限阶元，因为对任意kZ，不存在正整数n可以使得nk=0。

循环群的特性：

（1）循环群是Abel群

（2）若G=,则|G|=ord(a)。

举个例子：

=<2>={，，，},||=ord(2)=4。