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矩阵分析重点归纳

免责声明

本文仅个人学习笔记，请谨慎参考，如有错误欢迎批评指正。

重点概括

不仅包括今年的期末重点，还有往年期末卷子的考点。

1、线性空间的判断。书P1

1、加法封闭性

2、乘法封闭性

3、满足8条运算规则：(1) \alpha +\beta = \beta +\alpha；(2) (\alpha +\beta)+\gamma = \alpha +(\beta+\gamma )；(3) \alpha +0=\alpha；(4) \alpha +\beta =0, \beta =-\alpha；(5) 1\alpha =\alpha；(6) k(l\alpha )=(kl)\alpha；(7) (k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha；(8) k(\alpha +\beta)=k\alpha +k\beta；

2、维数。书P3

基中向量的个数。

dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2 - dim(V1交V2)

3、正规矩阵。书P36

满足A^{H}A=AA^{H}的矩阵A。

4、向量范数。书P88

1范数：||\alpha ||_{1}=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}| = 所有元素的模和

2范数：||\alpha ||_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}} = 所有元素的模的平方和开根号

无限范数：||\alpha ||_{\infty }= \underset{1\leq i\leq n}{max}\left | x_{i} \right | = 所有元素的模的最大者

5、矩阵范数。书P91、93

1范数：||A||_{1}= 列模和最大者

2范数：||A||_{2}=\sqrt{\lambda _{A^{H}A}} = \sqrt{\lambda _{AA^{H}}} （ \lambda _{A^{H}A}是A^{H}A或AA^{H}的最大特征值）

无限范数：||A||_{\infty }= 行模和最大者

F范数：||\alpha ||_{F}=\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}=\sqrt{tr(A^{H}A)} = 所有元素的模的平方和开根号=A^{H}A的迹开根号

6、奇异值。书P84

A^{H}A的特征值或AA^{H}的所有特征值开根号

7、谱半径。书P130

矩阵特征值的模的最大数。

\rho (A^{2}) = \rho (A)*\rho (A)

\rho (A) \leq \left \| A \right \| 谱半径小于任何A的范数

8、广义矩阵。书P137 习题五 7

给定矩阵A，

若A为行满秩，则 A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}

若A为列满秩，则 A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}

9、圆盘定理。书P129

矩阵有多少行，就算多少个圆盘。

对于每一行，在对角线上的数 x+yi 的 (x,y) 作为圆盘的圆心，在这一行中，除去对角线上的数的其他数的模相加作为圆盘的半径。

算出所有行的圆盘后，矩阵的特征值的范围就在圆盘的并集里面。

10、行列式因子、不变因子、初级因子。书P52-53

给定矩阵A，算出它的特征矩阵(\lambda E-A)

1、行列式因子：n阶矩阵有n阶行列式因子，用D_{i}(\lambda)表示。

D_{1}(\lambda)是特征矩阵(\lambda E-A)的所有1阶行列式的公因子；

D_{2}(\lambda)是特征矩阵(\lambda E-A)的所有2阶行列式的公因子......；

D_{n}(\lambda)是特征矩阵(\lambda E-A)的n阶行列式的公因子（直接就是特征多项式）。

2、不变因子：用d_{i}(\lambda)表示。

d_{1}(\lambda)=D_{1}(\lambda)，

d_{2}(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)}

......

d_{n}(\lambda)=\frac{D_{n}(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}

3、初级因子： 找出非常数的不变因子，把因式分解开，有次方的就不用分解开了。P53的例子讲的很清楚。

11、史密斯标准型

Smith标准型是对角矩阵，要求矩阵经过一系列初等行变换或列变换，使对角线上元素前一行是后一行的因子。

12、约当标准型。书P55

任何矩阵都相似于一个约当标准型。

写出特征矩阵，求出行列式因子、不变因子、初级因子。对于每个初级因子，求m = n-r(\lambda E-A)，m等于多少，该初级因子就有多少个约当块。

13、最小多项式。书P59

A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

求法是，先算特征多项式，如果它没有次方，那最小多项式就是特征多项式。如果有次方那么就一个一个把A和E带入验算是不是零。

比如特征多项式=\lambda (\lambda -1)^{3}，则要按顺序从\lambda (\lambda -1)、\lambda (\lambda -1)^{2}、\lambda (\lambda -1)^{3}，把\lambda换成A，1变成E，带入计算是否等于零，首次等于零的那个就是最小多项式。

14、矩阵函数 f(A)和f(At)。书P111-113

1、求特征多项式

2、求最小多项式

3、根据最小多项式的次数设等式

4、特征值分别带入方程式，联立方程组

5、求得的解带入等式

15、最小二乘法。书P32

AX=B，两边同时乘A^{T}，即A^{T}AX=A^{T}B，求出解。

16、QR分解

A=QR，Q是A的正交单位化向量，求出Q即可得到R。

正交化：

\beta _{1}=\alpha _{1}

\beta _{2} = \alpha _{2} - \frac{<\alpha _{2},\beta _{1}>}{<\beta 1, \beta _{1}>}\beta _{1}

\beta _{3} = \alpha _{3} - \frac{<\alpha _{3},\beta _{2}>}{<\beta 2, \beta _{2}>}\beta _{2} - \frac{<\alpha _{3},\beta _{1}>}{<\beta 1, \beta _{1}>}\beta _{1}

单位化：

e_{i}=\frac{1}{\left \| \beta_{i} \right \|}\beta_{i}

17、奇异值分解

给定矩阵A，

1、Q=AA^{T}的特征向量正交单位化

2、P=A^{T}A的特征向量单位化

3、奇异值=特征值开根号，按照特征向量的顺序放D的对角线上

4、A=Q\begin{bmatrix} D & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}P^{T}

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            现在国内和国外,特别是美国那边,突然出现很多开源项目,但是这些项目的用户有多少,有多少忠诚的粉丝,对于投资者来讲,完全是一个未知数,那么要投资开源项目,我们投资者必须准确无误的知道该项目的全部情况,包括项目发起人的情况,项目的维持时间..项目的技术水平,项目的参与者的势力,项目投入产出的效益.....
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    由于几年前写了几篇 CAS 系列的文章，之后陆续有人参照文章去实现，可都遇到了各种问题，同时经常或多或少的收到不少人的求助。现在这时特此说明几点： 1.  那些文章发表于好几年前了，CAS 已经更新几个很多版本了，由于近年已经没有做该领域方面的事情，所有文章也没有持续更新。 2. 文章只是提供思路，尽管 CAS 版本已经发生变化，但原理和流程仍然一致。最重要的是明白原理，然后
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    参考资料 http://www.ibm.com/developerworks/cn/opensource/os-cn-spring-cache/ http://swiftlet.net/archives/774   缓存注解有以下三个： @Cacheable      @CacheEvict     @CachePut
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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他