POJ 3233 Matrix Power Series 矩阵幂级数

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Given a $n\times n$ matrix $A$ and a positive integer $k$, find the sum 给定一个$n\times n$方阵，以及一个整数$k$，计算下列级数
$$S=A+A^2+A^3+\cdots +A^k.$$

• The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers $n_{(n\le 30)},k_{(k\le 10^9)}$ and $m_{(m<10^4)}$. Then follow $n$ lines each containing $n$ nonnegative integers below $32768,$ giving $A$’s elements in row-major order.【输入】只包含一个案例。第一行输入$n,k,m$，其中$m$表示模数，三者以空格分割。下面$n$行输入一个$n\times n$的方阵，元素数值$\in [0,2^{15}).$
• Output the elements of $S$ modulo $m$ in the same way as $A$ is given.【输出】输出模$m$意义下的矩阵$A$的级数$S$。

分析

分治

• 抛开矩阵来看这个式子，就是一个几何级数(等比数列之和)。
  _{完全有一个分式形式的求和公式，听说也可以做(在模意义下可以使用矩阵的逆改写其形式)}
• 可以考虑分治计算之：

1. $k是偶数$
   $$\begin{array}{rl}S(n)& =A+A^2+A^3+\cdots +A^k\\ & =(A+A^2+\cdots +A^{n/2})+(A^{n/2+1}+A^{n/2+2}+\cdots +A^n)\\ & =(A+1)\times (A+A^2+\cdots +A^{n/2})\\ & =(A+1)\times S(\frac{n}{2})\end{array}$$
2. $k是奇数$

• 则有$k-1$是偶数
• 特殊的，对于$k=1$时，有$S(1)=A$，作为递归出口即可

_代码如下

inline Ma calc(Ma& A, int k) {
     
    if (k == 1)
        return A;
    Ma ans = calc(A, k >> 1);
    ans = ans + (A ^ (k >> 1)) * ans;
    if (k & 1) ans = ans + (A ^ k);
    return ans;
}

快速幂

• 对于矩阵的高次幂，直接算显然无法承受
• 使用快速幂优化
• 代码见下方

代码

最终代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

static const int N = 45;
int n, mod;

矩阵类

struct Ma {
     
    int a[N][N];

    Ma() {
     
        memset(a, 0, sizeof a);
    }

    inline void unit() {
     
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            a[i][i] = 1;
    }

    Ma operator* (const Ma& B) const {
     
        Ma ans;
        for (int t = 0; t < n; ++t) {
     
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
     
                int r = a[i][t];
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
     
                    ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + r * B.a[t][j]) % mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }

    Ma operator^ (int n) {
     
        Ma ans;
        ans.unit();
        Ma A = *this;
        while (n) {
     
            if (n & 1) ans = ans * A;
            A = A * A;
            n >>= 1;
        }
        return ans;
    }

    Ma operator+ (const Ma& B) const {
     
        Ma ans = Ma();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
     
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
     
                ans.a[i][j] = ( a[i][j] + B.a[i][j] + mod) % mod;
            }
        }
        return ans;
    }

    inline void show() {
     
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
     
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
     
                printf("%d ", a[i][j]);
            }
            putchar(10);
        }
    }
};

分治

inline Ma calc(Ma& A, int k) {
     
    if (k == 1) {
     
        return A;
    }
    Ma ans = calc(A, k >> 1);
    ans = ans + (A ^ (k >> 1)) * ans;
    if (k & 1) ans = ans + (A ^ k);
    return ans;
}

主函数

int main() {
     
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in", "r", stdin);
    freopen("1.out", "w", stdout);
#endif
    int k;
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &mod);
    Ma A;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
     
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
     
            scanf("%d", &A.a[i][j]);
            A.a[i][j] %= mod;
        }
    }

    A = calc(A, k);
    A.show();

    return 0;
}

细节

• 反正我是错了很多次…

矩阵乘法取模

重载运算符

• 不放图了，大概就是以后不会再用friend了

_哭哭