拓扑排序

定义：

拓扑排序是对有向无圈图的顶点的一种排序，使得如果存在一条边从Vi到Vj的路径，那么在排序中Vj就出现在Vi的后面。

具体实例：

在我们的大学课程中，常出现这么一种情况，比如在选修算法设计前必须先选修数据结构课程。如果，我们用图论来表示的话，（v, w）表示为课程v必须在课程w选修前选修完。

前提：

要满足可以使用拓扑排序的前提是：图中不含有圈。假设存在这样的两个关系（v,w）和（w,v），那么必定是不满足拓扑排序的定义的。

简单拓扑：

先找到任意一个没有入边的顶点，然后显示该顶点，并将它及其边一起从图中删除，然后，再对剩余的点做同样的处理。

伪代码：

    //拓扑排序
    void topsort() throws CycleFoundException{
        for (int counter = 0; counter < NUM_VERTICES; counter ++){
            //查找到入度为0的点
            Vertex v = findNewVertexIndegreeZero();
            if (v == null)
                throw new CycleFoundException();
            //记录该点的位置
            v.topNum = counter;
            //删除掉与v相连的边
            for each Vertex w adjacent to v
                w.indegree--;
        }
    }

改进的拓扑排序：

首先，对每个顶点计算它的入度，然后，将所有入度为0的顶点放入一个初始为空的队列中。当队列不为空时，删除一个顶点v，并将与v邻接的所有顶点的入度减1.只要一个顶点的入度降为0，就把该顶点放入队列中。

伪代码：

void topsort() throws CycleFoundException{
    //用来记录入度为0的顶点
    Queue q = new Queue();
    int counter = 0;
    //将入度为0的顶点加入到队列中
    for each Vertex v
        if (v.indegree == 0)
            q.enqueue(v);
    
    while( !q.isEmpty()){
        //取出队列中的顶点
        Vertex v = q.dequeue();
        //记入该点位置
        v.topNum = ++counter;
        //将与改点相关的边都删除
        for each Vertex w adjacent to v
            //若删边后，该点入度为0，则加入队列中
            if( --w.indegree == 0)
                q.enqueue(w);
    }
    //若counter不等于顶点数，那么说明图中存在圈
    if (counter != NUM_VERTICES)
        throw new CycleFoundException();
}

应用一：判断图中是否存在圈

 public boolean topSort(int numCounts, int[][] inputs){
        //邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[numCounts][numCounts];
        //记录顶点的入度
        int[] indegree = new int[numCounts];

        //初始化
        for (int i = 0; i < inputs.length; i ++){
            int front = inputs[i][0];
            int behind = inputs[i][1];
            //排除出现重复的情况，比如出现两次(1,2),(1,2)
            if (matrix[front][behind] == 0)
                indegree[behind] ++;
            matrix[front][behind] = 1;
        }
        //记录个数，用来判断图是否存在圈
        int count = 0;
        //定义队列
        Queue queue = new LinkedList<>();
        //将入度为0的顶点加入到队列中
        for (int i = 0; i < indegree.length; i ++){
            if (indegree[i] == 0)
                queue.offer(i);
        }

        while (!queue.isEmpty()){
            //获取到队列中队头
            int current = queue.poll();
            count ++;
            //进行删边
            for (int i = 0; i < numCounts; i ++){
                if (matrix[current][i] != 0){
                    //若删边后，入度为0，则加入队列中
                    if (--indegree[i] == 0)
                        queue.offer(i);
                }
            }
        }
        return count == numCounts;
    }