离散数学·代数结构【子群、循环群、变换群、置换群】

练习放在文末

子群定义

判定定理

 

定理2常用

生成子群

子群格

循环群

这张图看一下就行了，不重要

定理1

例子

定理2

变换群

例子

n元置换

上面这个感觉有点问题吧，可能是打错了——

在第一个（1 2 3 4）中1后面跟着2，2后面跟着3，3后面跟着4，4后面回到1

奇、偶置换，交代群这个不重要

置换乘法（需要类比函数的合成）

如题

(18246573)

(1 2 3 4 5 6 7 8 9)

(8 4 1 6 7 5 3 2 9)

(132)(5648)

(1 2 3 4 5 6 7 8 9)

(3 1 2 8 6 4 7 5 9)

首先，逆序合成（如同函数合成）

接着，从第一个开始看：

第一个置换中1 下面对应 8

第二个置换中8 下面对应 5

（合成）乘法后的置换 1 下面对应 5

其他的以此类推

陪集

抽象地解释：

群G，子群H，根据H定义了一个G上的等价关系R，任意G中元素a，b，aRb if and only if ab^(-1)属于G，[a]=Ha，也会出现一个G的划分

性质

右陪集、左陪集

Lagrange定理

引理

定理及其推论

练习

16题

首先，选择e来确定子代数非空

19题

（1）：

1.a^2自我循环8次，就变成了a^1，接着a^3……以此类推，所以a^2是生成元

2.a^3不是，因为a^3经过6次自我循环，又变成了a^3，所以不是

（其余的也是这个道理）

（2）：

子群需要满足零元运算，所以不难循环出单位元的，不能算作子群

子群格要注意最上方一般是本身，最下方是单位元子群，注意中间的是否可以比较

28题

32题

[G:H]——H在G中的指数，即H左（右）陪集数（左右陪集数是相等的） 【来源于lagrange定理】

这题主要是回忆并熟悉一下lagrange定理的知识，题目本身不难

47题

49题

51题