有关实对称矩阵的几个证明

1.摘要

本篇博客主要记录了有关实对称矩阵的几个证明问题，以完成学校布置的数学作业

2.实对称矩阵

矩阵A为实对称矩阵的定义为：
①A为n阶方阵
②$A_{ij}$为实数
③$A=A^T$

3.证明一：实对称矩阵的特征值是实数

1）共轭复数

• 复数
  在复数域中，一个复数可以表示为：C = A + Bi，其中A为复数C的实部，B为复数C的虚部
• 共轭复数
  设一个复数C为：C = A + Bi，
  则C的共轭复数为：$\overline{C}=A-Bi$
• 共轭复数的运算特征
  和、差、积、商的共轭等于共轭的和、差、积、商

2）证明
对实对称矩阵A特征分解得：$Ax=\lambda x$，其中λ为特征值，x为特征值对应的特征向量

现在复数域上考虑，设$\overline{A}，\overline{\lambda }，\overline{x}$分别为A，λ，x对应的共轭矩阵、向量、复数，其中共轭矩阵和共轭向量表示为$\overline{A}，\overline{x}$中每个元素都是A和x的共轭复数

对共轭矩阵、向量而言：$\overline{A^T}={\overline{A}}^T，\overline{x^T}={\overline{x}}^T$

因为A为实对称矩阵，易证：$A=A^T=\overline{A}={\overline{A}}^T$

则：
$$\begin{gathered} {\overline{x}}^{T}Ax={\overline{x}}^T\overline{A}x={\overline{A^{T}x}}^{T}x={\overline{Ax}}^{T}x={\overline{\lambda x}}^{T}x=\overline{\lambda }{\overline{x}}^{T}x① \\ {\overline{x}}^{T}Ax={\overline{x}}^T\lambda x=\lambda {\overline{x}}^{T}x② \\ ①-②=0\to (\overline{\lambda }-\lambda ){\overline{x}}^{T}x=0 \\ \overline{\lambda }=\lambda (x\ne 0) \\ \therefore 在复数域上\lambda 的虚部为0，\lambda 为实数，原命题得证 \end{gathered}$$

4.证明二：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量两两正交

对实对称矩阵A特征分解得：$Ax=\lambda x$，其中${\lambda }_1，{\lambda }_2$为不同的两个特征值，$x_1,x_2$分别为特征值对应的特征向量，则
$$\begin{gathered} A{x}_1={\lambda }_1{x}_1\to x_2^{T}A{x}_1=x_2^T{\lambda }_1{x}_1(左乘x_2^T)① \\ A{x}_2={\lambda }_2{x}_2\to x_2^T{A}^T={\lambda }_2{x}_2^T(转置)\to x_2^T{A}^T{x}_1={\lambda }_2{x}_2^T{x}_1(右乘x_1)\to x_2^{T}A{x}_1={\lambda }_2{x}_2^T{x}_1(A=A^T)② \\ ①-②\to ({\lambda }_1-{\lambda }_2)x_2^T{x}_1=0 \\ {x}_2^T{x}_1=0({\lambda }_1\ne {\lambda }_2) \\ \therefore x_1，x_2相互正交，原命题得证 \end{gathered}$$

5.证明三：实对称矩阵n重特征值对应的特征向量子空间为n维的

1）证明：实对称矩阵必可相似对角化

通过数学归纳法证明：
①当n=1时，A本身即是对角阵
②假设n-1阶，A相似于一个n-1阶对角阵
③考虑n阶：

• 取A的一个特征值${\lambda }_1$（由证明二保证），则有：$A{\lambda }_1={\lambda }_1{x}_{1}subjectto||x_1||=1$

• $x_1$可以扩充成n维空间中的一个基，通过施密特正交化、再单位化，可以得到n维空间中的一个标准正交基（${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$）

• 令$Q_1=（{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n）$，则有

  

  S是n-1阶的实对称矩阵

• 由②假设得，存在正交阵$Q_2$，有$Q_2^{T}S{Q}_2=diag({\lambda }_2,{\lambda }_3,...,\lambda n)$

• 令$Q_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q_2\end{array}\right]$，$Q_3$为n阶正交阵，则有
  $Q_3^T{Q}_1^{T}A{Q}_1{Q}_3=(Q_1{Q}_3{)}^{T}A(Q_1{Q}_3)=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,...,\lambda n)$

• 令$Q=Q_1{Q}_3$，Q是n阶正交阵，则有：$Q^{T}AQ=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,\lambda n)$

由①②③归纳得，原命题成立

2）证明：实对称矩阵k重特征值对应的特征向量子空间为k维的

由上证$A～\Lambda$，则$R(A)=R(\Lambda )=n$，则：
$\lambda E-A～\lambda E-\Lambda =diag(\lambda -{\lambda }_1，\lambda -{\lambda }_2，...,\lambda -{\lambda }_n)$

当A的特征值λ取k重根时，diag有k个0，n-k个非零元素，则$R(\lambda E-A)=R(\lambda E-\Lambda )=n-k$

所以，实对称矩阵k重特征值对应的特征向量恰能构成k维子空间，原命题得证