量子计算 量子力学假设与量子测量

• 量子力学的假设是经过长期的尝试与失败后而推导出来的，经过了发明者的大量猜测和摸索。对于这些假设，我们只需要掌握这些假设，懂得如何应用以及何时应用这些假设。

假设一（状态空间）

• 任一孤立物理系统都有一个称为状态空间的复内积空间（即希尔伯特空间）与之相联系，系统完全有状态向量所描述，这个向量是系统状态向量的一个单位向量。

示例

• 设 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 构成这个状态空间的一个标准正交基，则状态空间中的任意状态向量可写作：
  $$|\phi ⟩=a|0⟩+b|1⟩$$
• 设 $|+⟩$ 和 $|-⟩$ 构成这个状态空间的一个标准正交基，则状态空间的任意状态向量可以写作：
  $$|\phi ⟩=a|+⟩+b|-⟩$$

假设二（演化）

• 一个封闭量子系统的演化可以由一个酉变换来刻画。即系统在时刻 t₁ 的状态 $|\phi ⟩$ 和系统在 t₂ 的状态 $|{\phi }^{\prime }⟩$，可以通过一个仅依赖于时间 t₁ 和 t₂ 的酉算子相联系：
  $$|\phi ⟩=U|{\phi }^{\prime }⟩$$

示例

• Hadamard 门是一个酉算子，记作 H。
  矩阵表示为：
  $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$
  外积表示为：
  $$H=|0⟩⟨+|+|1⟩⟨-|$$
• 假设初始状态 $|\phi ⟩=|0⟩$，
  若用矩阵进行运算，
  $$H|\phi ⟩=H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=|+⟩$$
  若用外积进行运算，
  $$\begin{gathered} H|\phi ⟩=H|0⟩=(|0⟩⟨+|+|1⟩⟨-|)|0⟩ \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩(⟨0|+⟨1|)|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩(⟨0|-⟨1|)|0⟩ \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)=|+⟩ \end{gathered}$$
• 同理，假设初始状态为 $|\phi ⟩=|1⟩$，经过 Hadamard 门之后，
  $$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)=|-⟩$$

假设三（一般测量）

• 量子测量由一组测量算子 {M_m} 描述，这些算子作用在被测系统状态空间上，指标 m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是 $|\phi ⟩$，则结果 m 发生的可能性由
  $$p(m)=⟨\phi |M_m^{+}M|\phi ⟩$$
  给出，且测量后的状态为：
  $$|{\phi }^{\prime }⟩=\frac{M_m|\phi ⟩}{\sqrt{⟨\phi |M_m^{+}M|\phi ⟩}}$$
  测量算子满足完备性方程
  $$\sum _m{M}_m^{+}M=I$$
• 在量子计算中，更多的使用投影测量。

投影测量

• 投影测量由被观测系统状态空间上的一个可观测量 Hermite 算子 M 描述。该可观测量具有谱分解
  $$M=\sum _{m}m{P}_m$$
  其中 P_m 是特征值 m 的本征空间 M 上的投影，测量的可能结果对应于测量算子的特征值 m。
  测量状态为 $|\phi ⟩$ 时，得到结果 m 的概率为：
  $$p(m)=⟨\phi |P_m|\phi ⟩$$
  测量后的状态为：
  $$|{\phi }^{\prime }⟩=\frac{P_m|\phi ⟩}{\sqrt{p(m)}}$$
• 投影测量可以视为假设 3 的特殊情况。设假设 3 中的测量算子处理满足完备性关系 ${\sum }_m{M}_m^{+}M=I$ 外，还满足 $M_m$ 是正交算子的条件，假设 3 就退化为投影测量。
• 投影测量具有许多好的性质，由定义投影测量的平均值为：
  $$E(M)=\sum _{m}mp(m)=\sum _m⟨\phi |P_m|\phi ⟩=⟨\phi |\sum _{m}m{P}_m|\phi ⟩=⟨\phi |M|\phi ⟩$$
• 可观测量 M 的平均值常写作：$$⟨M⟩=⟨\phi |M|\phi ⟩$$
• 可观测量 M 的标准差是：
  $$[\Delta (M){]}^2=⟨(M-⟨M⟩{)}^2⟩=⟨M^2⟩-⟨M{⟩}^2$$

示例

• 对于给定状态 $|\phi ⟩=a|0⟩+b|1⟩$，且测量可观测量 Z。
  $$Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$
  Z 的特征值分别为 ${\lambda }_1=1$ 和 ${\lambda }_2=-1$，相应特征向量为：
  $${ϵ}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=|0⟩和{ϵ}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=|1⟩$$
  根据定义，P_m 是特征值 m 的本征空间 M 上的投影，可以得出
  $$P_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]=|0⟩⟨0|和P_{-1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]=|1⟩⟨1|$$
  这时，得到结果为 1 的概率为：
  $$\begin{gathered} p(1)=⟨\phi |P_1|\phi ⟩=(a⟨0|+b⟨1|)|0⟩⟨0|(a|0⟩+b|1⟩) \\ =(a⟨0||0⟩+b⟨1||0⟩)(a⟨0||0⟩+b⟨0||1⟩)=a^2 \end{gathered}$$
  测量后的状态为：
  $$|{\phi }^{\prime }⟩=\frac{P_m|\phi ⟩}{\sqrt{p(m)}}=\frac{|0⟩⟨0|(a|0⟩+b|1⟩)}{\sqrt{a^2}}=\frac{a}{|a|}|0⟩$$
  类似的，得到结果为 -1 的概率为：$$p(-1)=b^2$$
  测量后的状态为：$$|{\phi }^{\prime }⟩=\frac{b}{|b|}|1⟩$$
  平均值为：
  $$⟨M⟩=⟨\phi |M|\phi ⟩=(a⟨0|+b⟨1|)(|0⟩⟨0|-|1⟩⟨1|)(a|0⟩+b|1⟩)=a^2-b^2$$
  标准差为：
  $$\begin{gathered} [\Delta (M){]}^2=⟨M^2⟩-⟨M{⟩}^2 \\ =(a⟨0|+b⟨1|)(|0⟩⟨0|-|1⟩⟨1|{)}^2(a|0⟩+b|1⟩)-(a^2-b^2{)}^2 \\ =a^2+b^2-(a^2-b^2{)}^2 \end{gathered}$$
• 对于给定状态 $|\phi ⟩=a|0⟩+b|1⟩$，且测量可观测量 X。
  $$X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
  X 的特征值分别为 ${\lambda }_1=1$ 和 ${\lambda }_2=-1$，相应特征向量为：
  $${ϵ}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=|+⟩和{ϵ}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=|-⟩$$
  根据定义，P_m 是特征值 m 的本征空间 M 上的投影，可以得出
  $$P_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]=|+⟩⟨+|和P_{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]=|-⟩⟨-|$$
  得到结果为 1 的概率为：
  $$\begin{gathered} p(1)=⟨\phi |P_1|\phi ⟩=(a⟨0|+b⟨1|)|+⟩⟨+|(a|0⟩+b|1⟩) \\ =(a⟨0||+⟩+b⟨1||+⟩)(a⟨0||-⟩+b⟨0||-⟩) \\ =(\frac{a}{\sqrt{2}}⟨0|(|0⟩+|1⟩)+\frac{b}{\sqrt{2}}⟨1|(|0⟩+|1⟩))(\frac{a}{\sqrt{2}}(⟨0|+⟨1|)|0⟩+\frac{b}{\sqrt{2}}(⟨0|+⟨1|)|1⟩) \\ =(\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}{)}^2 \end{gathered}$$
  测量后的状态为：
  $$\begin{gathered} |{\phi }^{\prime }⟩=\frac{P_m|\phi ⟩}{\sqrt{p(m)}}=\frac{|+⟩⟨+|(a|0⟩+b|1⟩)}{\sqrt{(\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}{)}^2}} \\ =\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩)(⟨0|+⟨1|)(a|0⟩+b|1⟩) \\ =\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩)(a+b) \\ =\frac{a+b}{\sqrt{2}}|+⟩ \end{gathered}$$
  同样的，也可以得到结果为 -1 的概率和测量后的状态，以及平均值和标准差。

假设四（复合系统）

• 符合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积，若将分系统编号为 1 到 n，系统 j 的状态被置为 $|{\phi }_j⟩$，则整个系统的总状态为：
  $$|{\phi }_1⟩\otimes \cdots \otimes |{\phi }_n⟩$$