《矩阵论》总结

前言：

《矩阵论》更像进阶版的线性代数，是一门高级数学。

• 《线性代数》运算的对象是：常数。
• 《矩阵论》运算的对象是：矩阵。

这门学科使得数学更加贴近于生活。小白将研究生阶段学习的《矩阵论与数理统计——理论及其工程应用》中“矩阵论”部分的提纲列写在下面。既可以梳理知识点，也为后面的复习巩固和查阅使用做些笔记。

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一.矩阵运算与矩阵分解

1.矩阵及其基本运算

• 矩阵的初等变换.

矩阵的初等变换：

1. 求逆矩阵；
2. 解矩阵方程；
3. 求矩阵的行最简型；
4. 求矩阵和向量组的秩；
5. 求向量组的极大线性无关组；
6. 解线性方程组.

2.矩阵分解及其在解线性方程组中的应用

• 矩阵的三角分解;

矩阵的三角分解：

1. LU分解；
2. LDU分解；
3. 楚列斯基分解()；
4. 推广楚列斯基分解();
5. 矩阵的正交三角分解（QR）

• 矩阵的满秩分解(A=BC);
• 矩阵的奇异值分解.

3.矩阵的特征值与特征向量

• 特征值的估计（圆盘定理）.

4.矩阵的广义逆及其应用

• 广义逆矩阵（）；
• 应用减号逆解方程组通解；
• 广义逆矩阵（）；
• 应用加号逆求方程组的极小范数最小二乘解.

二.线性空间与线性变换

1.线性空间

• 集合与映射；
• 线性空间；

线性空间映射  满足下列运算律：

1. ;
2. ；
3. V 中存在一个零元素，记作 0，对于 V 中每一个元素，都有;
4. 对于 V 中每一个元素 ，在 V中存在一个元素 ，使得 ,这样的  叫做 的负元素,记作 = ;
5. ;
6. ；
7. ;
8. .

其中  是 V 中的任何元素， 是 P 中的元素。

*交换、结合、分配、零无、负无。

• 线性空间的基、维数与坐标；

1. 线性组合；
2. 线性表示；
3. 线性相关性；
4. 极大线性无关组；
5. 过度矩阵；

• 线性子空间（封闭性：加法、数乘）；
• 子空间的 交与和；

2.赋范线性空间与矩阵范数

• 赋范线性空间

赋范线性空间满足下列条件：

1. 正定条件：当且仅当  ；
2. 非负齐次条件：;
3. 三角不等式：.

* 习惯上记 .

• 矩阵的范数

矩阵范数满足下列条件：

1. 正定条件：当且仅当  ；
2. 非负齐次条件：;
3. 三角不等式：.

* 习惯上记 .

常见的矩阵范数：

.

3.内积空间

• 内积的定义与性质

1. 对称性：;
2. 线性性：,;
3. 正定性：，当且仅当  时，.

• 向量的正交性与施密特（Schmidt）正交化方法（及“推广”）

4.矩阵分析初步

• 矩阵序列的极限；
• 矩阵级数；
• 矩阵幂级数（方阵）；
• 矩阵的微分和积分；

5.线性变换

• 线性变换的定义与性质

1. 
2. 

• 线性变换与矩阵
• 线性变换的特征值与特征向量；
• 正交变换.

三.矩阵的若尔当标准型与矩阵函数

1. 矩阵及其史密斯（Smith）标准型

史密斯标准型：

                       其中  是首项系数为1的多项式，并且  能够整除 。（i=1，2，... ，r-1）

（*也就是对角线次数逐渐增高。）

行列式因式、不变因式、初等因式。

2.矩阵的若尔当标准型

3.最小多项式

定义：矩阵 A 的所有零化多项式中，次数最低，并且首相系数为1的零化多项式，称为 A 的最小多项式。

• 初等因子
• 不变因子

4.矩阵函数

5.应用案例

• 矩阵函数在求解电路暂态相应中的应用；
• 线性系统的能观性与能控性；
• 一阶线性常系数微分方程组和高阶线性常微分方程的初值问题的求解