离散数学 - 谓词逻辑的推理

谓词逻辑的推理

  在前面学习了命题逻辑的推理,但是用其却无法证明苏格拉底论证的有效性,这是由于原子命题包含的信息量太少,无法将苏格拉底论证的条件和结论准确的表示出来,因此,我们引入了谓词与量词.借助它们,我们能更精确的将自然语言转化为数学语言,而下一步,就是与命题逻辑的推理相对应的谓词逻辑的推理.

主要内容:

• 推理规则
• 例题示范

推理规则:

• 全称量词的消去规则(US):
  全称量词的基本属性是"任意",也就是说,如果个体域的所有个体都具有性质A，则个体域中的任一个个体都具有性质A。
  公式:$\forall xA(x)\Rightarrow A(y)$或者$\forall xA(x)\Rightarrow A(c)$
  换成常元还是变元主要取决于要证明结论的形式
  规则成立的条件:

  1. 取代x的y应为任意不在A(x)中约束出现的个体变元;
  2. 用y取代A(x)中自由出现的x时，必须将所有的x都取代;
  3. 自由变元y也可替换为个体域中任意的个体常元c, c为任意不在A(x)中出现过的个体常元。
     第1和3说白了就是别和其他的符号重复

• 存在量词的消去规则(ES):
  存在量词的属性是"存在",即, 如果个体域存在有性质A的个体，则个体域中必有某一个个体具有性质A。
  公式:$\exists xA(x)\Rightarrow A(c)$
  规则成立的条件:

  1. c是个体域中使A为真的特定的个体常元；(特定的)
  2. c不曾在A(x)或前面的推导公式中出现过；(别重复)
  3. A(x)中除了自由出现的x外,还有其他自由出现的个体变项是，不能用此规则. (在具体题目中很少见)
     前两个显而易见,对于第3个考虑$\exists yF(x,y)$,并不能得出$F(x,c)$,F(x, c)表示的是对于指定的c, 任意的x都满足F.错误在于:c的具体指定可能与x的取值有关,比如F表示大小关系.

• 全称量词的引入规则:
  如果个体域的任意个体都具有性质A，则个体域中的所有个体都具有性质A。(显而易见)
  公式:$A(y)\Rightarrow \forall xA(x)$
  规则成立的条件：
  1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真；
  2. x不在A(y)中约束出现。(符号别重复就行)

• 存在量词的引入规则:
  如果个体域有某一个个体c具有性质A，则个体域中必存在具有性质A的个体.即,能找出一个就表示存在.
  公式:$A(c)\Rightarrow \exists xA(x)$
  规则成立的条件:

  1. c是个体域中某个确定的个体;
  2. 代替c的x不在A©中出现过.(还是符号别重复)

例题示范:

例: 用谓词逻辑构造并证明下述推理的有效性:
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车；每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车；有的人不喜欢骑自行车；因而有的人不喜欢步行。
解:
取人为全总个体域:设P(x)表示x喜欢步行;Q(x)表示x喜欢坐汽车;R(x)表示x喜欢骑自行车.
即证,
$$\forall x(P(x)\to \neg Q(x)),\forall x(Q(x)\vee R(x)),\exists x\neg R(x)\Rightarrow \exists x\neg P(x)$$
①    $\exists x\neg R(x)$     P
②    $\neg R(c)$       T①ES
③    $\forall x(Q(x)\vee P(x))$  P
④    $(Q(c)\vee P(c))$   T③US
⑤    $Q(c)$        T②④I
⑥    $\forall x(P(x)\to \neg Q(x))$ P
⑦    $P(c)\to \neg Q(c)$   T⑥US
⑧    $Q(c)\to \neg P(c)$   R⑦E
⑨    $\neg P(c)$       T⑤⑧I
⑩    $\exists x\neg P(x)$      T⑨EG