线性代数-向量数乘、点乘意义

什么是向量

向量是指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段
箭头所指：代表向量的方向
线段长度：代表向量的大小

向量是线性代数中最基础、最根源的组成部分，向量加法和向量乘法贯穿线性代数始终，起着很重要的作用

基向量

也可以说是单位向量，其他向量都可以由基向量进行缩放、合成得到
比如在一维坐标系，基向量是$i$
$u$就可以表示为3$i$,$v$表示为-2$i$

在二维向量中，比如 $p$(3,2) =>3*($i$,0)+(-2)*(0,$j$)

向量数乘

k*(x,y,z) = (kx,ky,kz)
其实就是对向量个轴上的分量进行等比缩放

向量的加法

可以从力学角度看，F1和F2的合力
在X轴上的合力FX = 1 + 3 = 4
在Y轴上的合力FY = 2 + (-1) = 1
最后在将FX和FY进行合成得到F = (4,1)

向量点乘

这里慢慢变得有意思了……
先来一个二维向量

在基向量$i$、$j$构成的二维坐标系下，向量$p$可以表示为：$p$ = 3*($i$,0) + 2*(0,$j$)
但是如果在其他基向量构成的坐标系中，$p$应该如何表示？

先来看看$p$在$i$所在轴上的表示，前面说过，任何向量都可以看做基向量缩放再合成的结果，所以我们只需要变换基向量即可
(0,$j$)在水平轴上的表示为(0,0)
($i$,0)在水平轴上的表示为($i$,0)
在水平轴上$p2$表示为： 3*($i$,0) + 2*(0,0) = （3$i$,0)，由于这里只有一个轴，后面的分量其实是没意义的，所以可以写成3$i$

接下来试着将$p$表示在L轴上，$u$是在L轴上的单位向量


将($i$,0)，(0,$j$) 转换到L轴后变成了$i2$、$j2$，那么$p2$ = 3*$i2$ + 2*$j2$

那$i2$、$j2$怎么表示呢？它们跟基向量$u$有什么关系？

根据对偶性，可以看出$i$在$u$上的投影长度和$u$在$i$上的投影长度相等，那么上面的$i2$ = $u_x$$u$，同理$j2$ = $u_y$$u$
这里的$u$是单位向量，那对于非单位向量呢，比如$ku$ = $k\cdot u$，它在$i$、$j$上的投影是怎样的？

$ku$对$u$缩放了$k$倍，对偶性被打破了
$i$在$ku$上的投影长度并没有改变，$i\cdot ku$ = $k(i\cdot u)$
图中可以看出$ku$在$i$上的投影长度被缩放了$k$倍$ku\cdot i$ = $k(u\cdot i)$
可见，对于非单位向量，彼此的投影仍然保持一致

所以无论$u$是不是单位向量，$i$、$j$在$u$上的投影长度都为$u_x、u_y$
所以：
$p2$ = $p_x\cdot i2$ + $p_y\cdot j2$
= $p_x{u}_x$$u$ + $p_y{u}_y$$u$
= ($p_x{u}_x+p_y{u}_y$)*$u$
= $p_x{u}_x+p_y{u}_y$ （一个轴上的向量可直接用数值表示，数值绝对值表示向量长度，正负表示方向）
到此，我们得到了一个非常重要的结论：
向量$p$在向量$u$上的表示为 $p_x$$u_x$ + $p_y$$u_y$
根据对偶性，向量$u$在向量$p$上的表示也为 $p_x$$u_x$ + $p_y$$u_y$
咦，这不是向量点乘公式吗？并且满足交换律！
继续看，是不是觉得这个公式有点眼熟……
矩阵乘法：
$[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}]$$\cdot$$\begin{array}{cc}[c& d]\end{array}$ = $ac+bd$
如果将$p$写成列式$[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\end{array}]$,$u$写成行式$\begin{array}{cc}[u_x& u_y]\end{array}$，$p\cdot u$就可以看做是矩阵乘法
$p\cdot u$ = $[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\end{array}]$$\cdot$$\begin{array}{cc}[u_x& u_y]\end{array}$ = $p_x$$u_x$ + $p_y$$u_y$
看到这里，我们是否可以理解为：向量的点乘，其实就是将一个向量变换到另一个向量所在的坐标空间中

如下图：二维空间中的点，经过单位向量$u$变换后，在$u$所在轴上都能得到与之对应的值，这个过程我们可以看做是二维空间到一维空间的投射

$a\cdot b=|a||b|cos(\phi )$
这个公式又是怎么得到的？

先复习下余弦定理：
$|a{|}^2$ = $|c{|}^2$ + $|b{|}^2$
= $(|c|sin(A){)}^2$ + $((|b|-|c|cos(A){)}^2)$
= $|c{|}^2$$sin(A{)}^2$ + $|b{|}^2$ + $|c{|}^2$$cos(A{)}^2$ - $2|c||b|cos(A)$
= $|c{|}^2$($sin(A{)}^2$ + $cos(A{)}^2$) + $|b{|}^2$ - $2|c||b|cos(A)$
= $|c{|}^2$ + $|b{|}^2$ - $2|c||b|cos(A)$

按照上面的推导：
$2|c||b|cos(A)$ = $|c{|}^2$ + $|b{|}^2$ - $|a{|}^2$
= $B_x^2$ + $B_y^2$ + $C_x^2$ + $C_y^2$ - $(C_x-B_x{)}^2$ - $(C_y-B_y{)}^2$
= $B_x^2$ + $B_y^2$ + $C_x^2$ + $C_y^2$ - $C_x^2$ - $B_x^2$ + $2C_x{B}_x$ - $C_y^2$ - $B_y^2$ + $2C_y{B}_y$
= 2($C_x{B}_x$+$C_y{B}_y$)
得到：$|c||b|Cos(A)$ = $C_x{B}_x$+$C_y{B}_y$

所以：$a\cdot b$ = $a_x{b}_x+a_y{b}_y$ = $|a||b|cos(\phi )$，$\phi$是$ab$夹角
根据点乘的结果来判断两个向量的方向关系：
大于 0：0 =< $\phi$ < $pi/2$
等于 0： $\phi$ = $pi/2$，两向量垂直
小于 0：$pi/2$ < $\phi$ =< $pi$

从力学角度，是否还可以理解为力F在位移S上做的功?
W = $|F||S|cos(\phi )$

参考：https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw