关于使用傅里叶级数进行逼近原周期函数的MATLAB实现

首先需要说明傅里叶级数和傅里叶变换之间虽然有关是,但是两者这件的概念是不同的。

关于傅里叶级数:
傅里叶级数就是使用一组谐波函数的线性组合进行近似表示周期函数
1. 对于连续的周期函数总存在傅里叶级数的近似表示
2. 对于非连续的周期函数,有的存在傅里叶级数的近似表示,而有些则没有,具体是由存在傅里叶级数的近似表示,主要是看是否符合狄拉克条件

如果存在近似的傅里叶级数的表示,我们可以得到下面的一组公式
x ( t ) = ∑ k = − i n f i n f e x p ( j ∗ k ∗ w o ∗ t ) ∗ a k x(t) = \sum_{k=-inf}^{inf}exp(j*k*wo*t) * ak x(t)=k=infinfexp(jkwot)ak
下面来使用matlab软件来进行关于矩形信号的近似仿真

%使用傅里叶级数近似表示周期的矩形波
% T = 4, T1 = 1, w = 2 * pi / 3 ; 
% k = [-50, 50] 取101个点
% t = -8 : 0.2 : 8 取81个点
%记 k和t的矩阵乘为 Kt;
T1 = 1;
T = 4 ; 
N = 100;
k = -N : 1 : N;
t = -8 : 0.2 : 8;
w0 = 2*pi/4 ; 
%ak = sin( k * w0 * 1 ) ./ (k * pi);
ak = sinc( 2 * k * T1 /T) * (2 * T1/T) ;
Kt = k' * t ;%这里会产生一个101 * 81的矩阵  
X = ak * exp(1i * Kt * w0) ;
plot(t, X)
%X = abs(ak * );%这里会产生一个1*81的矩阵

这里有一点很容易出错,就是关于ak的计算,因为我们书上给出的公式是关于sin()函数的,但是我们如果在matlab中使用sin()函数进行直接实现的时候,会出现Nan的问题,没有图形绘制,所以我们就需要使用sinc(),这个函数使用的时候没有问题,具体原因我也不清楚。
关于使用傅里叶级数进行逼近原周期函数的MATLAB实现_第1张图片
关于使用傅里叶级数进行逼近原周期函数的MATLAB实现_第2张图片
上面的图形分别是在N取50和N取80的时候得到的结果,这是符合结论的,当我们的N取得值越大的时候,我们得到的结果结合原函数的结果越相似,误差越小,

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