清风数模课 - - - 插值算法笔记

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        本文模型的顺序有做调整,把会用到的放在了前面,节省时间可不看后面的两个几乎用不到的模型,希望能帮到大家

1. 产生原因

   数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和 分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就 需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满 足需求，这就是插值的作用。

2. 插值的定义:

   设函数 f(x) 在[a,b]上有定义,且在区间内有一些有函数值的点,存在一个简单函数P(x)使得这些点也在P(x)上,则P(x)为f(x)的插值函数,这些点的横坐标称为插值节点,[a,b]称为插值区间,求P(x)的方法称为插值法

3. 分类

   1. 多项式插值

      P(x)为次数不超n的代数多项式

   2. 分段插值

      P(x)为分段多项式

   3. 三角插值

      P(x)为三角多项式

      注：三角插值一般要用到傅里叶变换等复杂的数学工具。

4. 分段线性插值

   1. 优点

      1. 插值多项式次数高精度未必显著提高

      2. 插值多项式次数越高摄入误差可能显著增大

         • 提高插值精度可采用分段低次插值

           指当需要求出Xo处的函数值时,找到离它最近的两个点进行求插值函数的计算(求出来是一个一次函数),从而完成Xo处的函数值的预测

5. 分段二次插值

   • 指当需要求出Xo处的函数值时,找到离它最近的三个点进行求插值函数的计算(求出来是一个二次函数),从而完成Xo处的函数值的预测

   • 选取跟节点x最近的三个节点进行二次插值,在每一个区间上,取:

      

   • 这种分段的低次插值称为分段二次插值,在几何上就是用分段抛物线代替y=f(x),故分段二次插值又称为分段抛物插值

6. 埃尔米特(Hermite)插值原理

   1. 优点:不仅希望函数值一样,甚至可以使插值处的函数值,函数的导数乃至函数的高阶导数都保持与原函数一致

      • 直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象， 因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)。

   2. 分段三次埃尔米特插值

      pchip(x,y,new_x)函数

       x = ‐pi:pi; y = sin(x);
       new_x = ‐pi:0.1:pi;
       p = pchip(x,y,new_x);
       plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')   %这里是把插值前后的图画在一起做对比

      matlab中plot函数的使用

      polt(x1,y1,x2,y2)

      线方式： ‐ 实线 :点线 ‐. 虚点线 ‐ ‐ 波折线

      点方式： . 圆点 +加号 * 星号 x x形 o 小圆

      颜色： y黄； r红； g绿； b蓝； w白； k黑； m紫； c青

7. 三次样条插值

   1. 满足条件

      1. 值相等

      2. 在每一个子区间上插值函数是三次多项式

      3. 插值函数在区间内二阶连续可微

   2. 代码

      spline(x,y,new_x)函数

       x = ‐pi:pi;
       y = sin(x);
       new_x = ‐pi:0.1:pi;
       p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃尔米特插值
       p2 = spline(x,y,new_x); %三次样条插值
       plot(x,y,'o',new_x,p1,'r‐',new_x,p2,'b‐')
       legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值',‘Location’,‘SouthEast’) %标注显示在东南方向

      说明：

      ‘Location’用来指定标注显示的位置

      legend(string1,string2,string3, …) ---> 分别将字符串1、字符串2、字符串3……标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时的图标。

8. 拉格朗日插值算法<由于龙格现象不推荐用>

   1. 介绍: 在若干个不同的地方得到相应的观测值， 拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

      • 当有n个数据需要进行插值的时候,可以写出唯一的一个(n-1)次的多项式穿过这n个点,通过这个函数来进行插值

   • 定理:
     设有n+1个互不相同的节点 存在唯一的多项式:

       使得  

     • 只要n+1个节点互异,满足上述插值条件的多项式是唯一存在的

     • 如果不限制多项式的次数,插值多项式并不唯一

   1. 缺点:龙格现象

   2. 高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大,产生明显的震荡。在不熟悉曲线 运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。

       

   3. 通过图可以看出,红色的线是原 f(x) 的图像,当插值函数的次数越高,摆动越剧烈,故同时穿过所有点的拉格朗日插值算法在n很大的时候不准确性很高

9. 牛顿插值算法<同样会有龙格现象,不推荐>

   1. 差商定义:
      为函数f(x)关于,的一阶差商(也称均差)

       

      
      二阶差商:

       

      
      k阶差商:
       

   2. 牛顿插值法计算:
      
       

      • 优点:每次需要一个新的值时,只需要接着上一个进行计算即可(拉格朗日插值每一个都需要重新计算)

      • Xk 和 可以不相邻

10. 应用:

    也可以运用在短期预测上