中国剩余定理

中国剩余定理

维基百科，自由的百科全书

跳转到： 导航, 搜索

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，中国余数定理），古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。

[编辑] 物不知数

在中国古代著名数学著作《孙子算经》中，有一道题目叫做“物不知数”，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答，口诀如下

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知

这个解法实际上是，首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15。然后

233便是可能的解之一。它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23。

附注：这个解法并非最简，因为实际上35就符合除3余2的特性，所以最小解是： 最小解加上105的正整数倍都是解。

[编辑] 形式描述

以上解法若推广到一般情况，便得到了中国剩余定理的一个构造性证明。

一般地，中国剩余定理是指若有一些两两互质的整数 ，则对任意的整数：a₁,a₂,...a_n，以下联立同余方程组对模 有公解：

[编辑] 克罗内克符号

为了便于表述，对任意的正整数用一个常用函数ζ_i,j表示，称之为克罗内克符号(Kronecker).定义：

使用该符号，即可给出上述一般同余方程组的求解过程，分两步完成

• 对每个，先求出正整数b_i满足，即所求的b_i满足条件：，但被每个整除。其求法如下：记，根据条件两两互素，可知r_i和m_i也互素，故存在整数c_i和d_i使得r_ic_i + m_id_i = 1.令b_i = r_ic_i，则对每个，相对应的m_j显然整除b_i，并且。由此表明b_i即为所求。
• 对于前述所求的b_i，令，则，这说明x₀为上述同余方程组的一个解，从而所有的解可表示为，其中的n可以取遍所有的整数。

[编辑] 近世交换环及推广

设为有单位元的交换环，为环的理想，并且当时，，则有典范的环同构，其中环同构由映射）给出。