LA@线性方程组@克拉默克拉姆Cramer法则

preface

• 许多数学问题都涉及或可转化为求解某个(类)线性方程组.
  • 高斯消元法
    • 齐次线性方程组有非零解
    • 非齐次线性方程组有解的条件
  • 向量组线性相关性和矩阵的秩
    • 揭示方程组解之间的关系,将方程组的有限个解线性表示它的无穷多个解
    • 向量空间的基和坐标

线性方程组

• 一般的线性方程组由$m$个$n$元一次方程构成:(方程组1)

• $$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2,\\ ⋮& \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

• 特别的,$m=n$时可以写作:(方程组2)

• $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

线性方程组的4个矩阵

• 对应与一般线性方程组$m$个$n$元线性方程

• A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots&a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots&a_{2n} \\ \vdots& \vdots& &\vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots&a_{mn} \\ \end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​

• x = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{T}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix} x=(x1​,x2​,⋯,xn​)T= ​x1​x2​⋮xn​​ ​

• $$\mathbf{b}=(b_1,b_2,\cdots ,b_m{)}^T$$

• B = ( A ∣ b ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) B=(A|b)=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots&a_{1n}&b_1 \\ a_{21}& a_{22}& \cdots&a_{2n} &b_2\\ \vdots& \vdots& &\vdots &\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots&a_{mn}&b_m \\ \end{pmatrix} B=(A∣b)= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​b1​b2​⋮bm​​ ​

• 其中$A$称为线性方程组的系数矩阵

• $\mathbf{x}$称为未知数矩阵

• $\mathbf{b}$称为常数项矩阵

• $\mathbf{B}$称为增广矩阵,有时记为$\overline{A}$

线性方程组的矩阵乘积形式

• $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$,其中$\mathbf{x},\mathbf{b}$是同维的列向量,因此也称为线性方程组的向量方程形式

线性表出形式

• 将$\mathbf{A}$按列分块($\mathbf{A}=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$),把$\mathbf{x}$按行分块(每块一个元素),则由分块矩阵的乘法有

  • ( α 1 α 2 ⋯ α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} (α1​​α2​​⋯​αn​​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​

  • 即$x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n=\mathbf{b}$,即${\sum }_{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i=\mathbf{b}$

齐次线性方程组

• $\mathbf{b}=0$时,即$b_i,i=1,2,\cdots ,n$不全为0,方程组称为$n$元齐次方程组

非齐次线性方程组

• $\mathbf{b}=0$,即,${\prod }_{i=1}^n{b}_i\ne 0$称为$n$元非齐次线性方程组

相关的等价称呼

• 线性方程组可以简称为线性方程
• 线性方程组的解也可以成为解向量

相容性

• 线性方程组有解,则称其是相容的,否则是不相容的

矩阵方程和线性方程组

• 求解线性方程组是线性代数中最重要的问题之一
  • 线性方程组可以用矩阵形式表示为$Ax=b$
    • 其中$A$是矩阵
    • $x,b$是列向量
  • 矩阵方程的形式则可能复杂的多,一种常见的简单形式是$AX=B$
    • 其中$A,X,B$均为矩阵
    • 可见线性方程组$Ax=b$是矩阵方程组的一种特例类型
    • 在矩阵A可逆的情况下,$AX=B$可以通过矩阵初等行变换进行求解
      • 这种情况下,$X=A^{-1}B$,可以由矩阵$(A|B)$进行初等行变换,将其转换为$(E|A^{-1}B)$,从而读出矩阵$AX=B$的方程解矩阵$A^{-1}B$

Cramer’s Rule@克莱姆法则

• Cramer法则可以用来判断并求解方程组2($A$是方阵时的情况)
• 该方法是利用行列式解决线性方程组的应用

对于非齐次方程组

• 若方程组2是非齐次线性方程组,且$|A_i|\ne 0$,则方程组有唯一解,且是非零解:

  • $x_i=\frac{|A_i|}{|A|},i=1,2,\cdots n$

  • 其中$|A_i|$是$|A|$中,第$i$列元素替换为方程组右端的常数项$b_1,b_2,\cdots ,b_n$所构成的行列式

    • 或者说:$A_i(i=1,2,\cdots ,n)$是把系数矩阵A中第$i$列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的$n$阶矩阵

    • A i = ( a 11 ⋯ a 1 , i − 1 b 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 b n a n , i + 1 ⋯ a n n ) A_{i}=\begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} Ai​= ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1,i−1​⋮an,i−1​​b1​⋮bn​​a1,i+1​⋮an,i+1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​

  • 唯一解是非零解:因为零解不可能满足非齐次方程组

对于齐次方程组

• 当方程组2是齐次方程组时,用矩阵乘法的形式可以书写为$\mathbf{Ax}=0$

• $|A|\ne 0$的充分必要条件是方程组有唯一解,而且是零解(由0构成的解向量或解矩阵)

• notes:

  • $|A|=0$表示$A$不是满秩的,具有一定的自由度,对应的线性方程组可能更多的解
  • 方阵的秩可以描述自由度大小
  • 系数矩阵是的满秩方阵的线性方程组具有的解有且只有1个,cramer法则给出了唯一解的具体计算公式

Cramer法则的局限性

• Cramer法则仅适用于方程组2这类未知数个数和方程个数相等的情况下,此时可以对系数矩阵(方阵)求行列式,来判断方程组解的情况
  • 当系数矩阵的行列式$|A|\ne 0$时可以给出具体的唯一解;(但是实际应用中一般不采用该法,因为需要计算较多的行列式,而更多的采用高斯消元法或者说初等矩阵变换法)
  • 当$|A|=0$时,方程组可能是无解的,也可能是有无穷多解(若要更具体的判断,需要利用其他方法,例如使用更加通用的基于初等变换法的"线性方程组有解判定定理")
• Cramer法是行列式的一个应用,而Cramer法则的证明则是矩阵逆的应用,他们都离不开方阵
• 如果要分析更一般的线性方程组,需要借助线性方程组解与矩阵的秩的关系(线性方程组有解判定定理)

Cramer法则的优点

• 如果仅仅需要讨论一个系数矩阵为带参数(设为$\lambda$)方阵的线性方程组的解的情况,使用Cramer法则可以起到简化分类讨论过程

  • 记系数矩阵为$A=A(\lambda )$

  • 先计算$|A|\ne 0$下,参数$\lambda$的取值情况,若解集可表示为:$\lambda \ne {\lambda }_i$,$i=1,2\cdots ,t$,它们对应方程组有唯一解

  • 再分别利用初等变换法计算$\lambda ={\lambda }_i$下方程组的解的情况(可能对应无解或者有无穷多解)

证明Cramer’s Rule

• 主要用到矩阵的逆,伴随矩阵,行列式降阶展公式和代数余子式的逆用

• 由线性方程组$Ax=b,|A|\ne 0$

  • $A^{-1}$存在,对$Ax=b$两边左乘$A^{-1}$,得到$\mathbf{x}=A^{-1}b=(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })b$

    • $P=(A^{\ast })\mathbf{b},\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$

  • $$\begin{gathered} 由结合律:\mathbf{x}=\frac{1}{|A|}((A^{\ast })\mathbf{b})=\frac{1}{|A|}((A_{ij}{)}_{n\times n}^T\mathbf{b}) \\ {x}_j=\frac{1}{|A|}(\sum _{k=1}^n{b}_k{A}_{kj})=\frac{1}{|A|}|A_j|,j=1,2,\cdots ,n \end{gathered}$$

    • 其中$A_{ij}$表示元素矩阵A的元素$a_{ij}$的代数余子式
    • 其中$|A_j|$是$|A|$中第$j$列元素替换为方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$右端的常数项$b_j$所取构成的行列式$j=1,2,\cdots ,n$;不妨称之为[替换常数项$b_j$后的n阶行列式],并且$|A_j|={\sum }_{k=1}^n{b}_k{A}_{kj}$

  • A ∗ = A i j = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) P = ( A ∗ ) b p i = ∑ k = 1 n A k i b k A^*=A_{ij}=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{P}=(A^*)\boldsymbol{b} \\ p_i=\sum_{k=1}^{n}A_{ki}b_{k} A∗=Aij​= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​b= ​b1​b2​⋮bn​​ ​P=(A∗)bpi​=k=1∑n​Aki​bk​

  • 设${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$均为$Ax=b$的解向量,则$A{x}_1=A{x}_2=b$

    • 对$A{x}_1=A{x}_2$两边同时乘以$A^{-1}$
    • 得到$x_1=x_2$
    • 说明$Ax=b$的解具有唯一性