线性代数让我想想：基础解系的个数为何是n-r

基础解系的个数为何是n-r

【作为回顾知识的絮絮叨叨，过于基础可以跳过】

首先给出基础解系的背景知识和它相关的概念：

对于齐次线性方程组，我们给出它的系数矩阵 $A_{m\times n}$，等式右边全为零，我们用 $O$ 来表示零矩阵。将 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$\cdots$ 组成的向量 $(x_1,x_2,x_3,\cdots )$，记作 $X$，那么有：
$$AX=O$$
对于非齐次线性方程组，我们给出它的系数矩阵 $A_{m\times n}$，由于等式右边不全为零，我们将写出它的结果向量 $B$。将 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$\cdots$ 组成的向量 $(x_1,x_2,x_3,\cdots )$，记作 $X$，那么有：
$$AX=B$$
零矩阵作为任意矩阵的一种特殊情况，我们统一写为 $B$，于是线性方程组我们可以统一为：
$$AX=B$$
解线性方程组的过程也就是求出向量 $X$ 的过程。

结合我们朴素的解方程认识，我们容易得到，解具有三种情况（具体的讨论过程将放在另一篇文章里说到）：

（1）方程无解；（2）方程有唯一解；（3）方程有无穷解。

【我们这里讨论方程有无穷解的情况】

只有在方程具有无穷解时，我们才会提到基础解系的概念，此时满足矩阵 $A$ 行不满秩。

而基础解系的”个数“并不是解的个数，而是指构成解空间的一组基底（极大无关组）。

从之前的文章我们知道，矩阵的秩代表了其最精简信息，也就是说，矩阵所表征向量空间中基底的个数。也就是说，基础解系的个数其实是矩阵解空间的基底个数（或者说是线性方程组的无穷个解所构成的子空间的秩）。

【三阶矩阵举例】

比如，三阶矩阵的秩为2，那么其基础解系就是 $n-r=3-2=1$。

【基础解系含义】

但是，这个 $1$ 不是指这个基础解系里只有一个解(向量)，而是指在这个秩与为1的空间中有无数解(向量) $x$，而这些 $x$ 都满足原方程组。那么，在几何意义上，意味着所有的解都在一条直线上，取其中任何一个解，其它解与它都是倍数关系。

【为什么是n-r】

从秩的本质角度出发，三阶矩阵对应的三维空间包含了三条最精简信息（也就是 $x、y、z$ 轴三个基底），三阶矩阵的秩为2，说明其只包含了两条最简信息，那么需要基础解系对应给出1条最精简信息让整个三维空间表达信息的能力不丢失。