线性代数介绍-1-向量

目录：

1 向量

1.1 向量和线性组合

1.2 向量的长度和点乘

1.2.1 向量的长度和单位向量

1.2.2 两个向量之间的角度

3. 小结

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1 向量

线性代数的核心就是向量的两个运算：加法运算和数乘运算。比如我们可以对v,w向量进行加法运算得到：v+w；我们也可以对v和w向量分别进行数乘运算得到：cv，cw。这两个基本的运算组合我们称之为向量的线性组合（linear combination），线性组合的思想也贯穿线性代数的始终。

本篇博客主要介绍一下两个内容：

1.1 向量和线性组合

1.2 向量的长度和点乘

1.1 向量和线性组合

对于解释向量的加法运算，这有一个特别形象的比喻 “You can't add apples and oranges” 。对于一个包含两个元素v1和v2的二维的向量来说，我们暂且将向量v看做是一个篮子，这个篮子中盛放着苹果和橘子。我们想要表示篮子中苹果和橘子的个数的，可以使用这样的表示形式：

 v1表示的就是苹果的个数，v2表示的就是橘子的个数。假如这边还有一个篮子w，里面还是存放着苹果和橘子，我们要计算两个篮子中苹果和橘子的个数，我们应该怎么进行运算？我们要将对应元素进行相加，换句话说，如果我们要分别计算苹果和橘子总的个数。

还有一个基本的运算：数乘运算，这边我就不仔细解释运算规则了：

加法运算和数乘运算两个的组合就构成了向量的线性组合。在线性组合的过程中，不可避免的会得到零向量0，零向量和零有什么区别嘛？零向量和0是两个不同的概念，零向量是指向量的所有元素都是零。比如一个二维零向量v就可以这样表示：v = [0, 0]。

我们可以在坐标系中可视化向量的加法（首尾相连）：

 对于一个向量v来说，它的线性组合就是：cu；对于两个向量u和v来说，它的线性组合就有多个：cu+dv；而对于三个向量u,v,w来说，它的线性组合就是：cu+dv+ew。假设这三个向量都是在三维空间中，思考一下下面的下面个的向量在三维空间中表示的是什么意思：

1. 所有的组合cu表示的是什么？

2. 所有的组合cu+dv表示的是什么？

3. 所有的组合cu+dv+ew表示的是什么？

 如果这三个向量都是零向量，那它们的线性组合就是零向量。如果它们三个都是非零的常规向量的话，cu表示就是三维空间中的一条直线；cu+dv表示的就是三维空间中的一个平面；cu+dv+ew表示的就是整个三维空间。

回顾主要思想：

1. 在二维平面中，向量v有两个元素v1和v2

2. v+w = (v1+w1,v2+w2)以及cv=(cv1,cv2)同时对各个元素进行计算

3. u和v的线性组合就是cu+dv+ew

4. 在三维空间中u或者u,v或者u,v,w它们的线性组合分别表示的就是一条直线，一个平面和整个三维空间

 

1.2 向量的长度和点乘

案例一：从几何角度考虑

从上面我们观察到：两个向量点乘的结果为零，在数学中零这个值通常意义非凡，但是在这个问题中，它们之间有什么几何意义呢？我们把这两个向量放在二维空间中进行考虑：

我们可以看到这两个向量是相互垂直的。 因此，我们可以得出这样一个结论：当两个向量点乘为零的时候，这表示它们是相互正交的（垂直的）。

案例二：从工程角度考虑

-1和2可以它们在x轴上距离原点的距离，4和2表示给这两个距离分配不同的权重，有点像“跷跷板”的两端加上不同权重的的感觉。最终它们的结果为零，这表示它们之间相互抵消，这个“跷跷板”最终处于平衡状态（它们与原点之间的距离大小相同，方向相反）

案例三：从经济学角度

假设我们有三类商品要进行出售或者购买（正号表示出售，负号表示购买）。每类商品的单价分别为(p1, p2, p3)，购买或者售卖的各类商品的个数为(q1, q2, q3)。最终的收入就是：

 如果最终的结果为正，说明你盈利了；如果最终的结果为负，说明你亏损了；但是，如果最终的结果为零，也就是两个向量的点乘为零，说明“收支平衡”。

简而言之，点乘的主要思想就是：对应元素相乘再相加。

从上面的案例中，我们可以发现两个向量进行点乘在不同的场景中有着不同的含义，这也从另外一个层面上说明线性代数渗透在我们生活的方方面面中，而不局限于[ ]这个框框中。

1.2.1 向量的长度和单位向量

在上一节中，我们讲到两个不同的向量v,w可以进行点乘运算。如果两个相同的向量，也就是w = v的时候，它们有什么特殊的含义嘛？

因为得到的结果是非负的，所以它们之间肯定不是垂直的，两个相同的向量应该是共线的，也就是说它们之间的角度为0。而最终的结果就表示这个向量长度的平方。也就是说向量的长度等于向量点乘然后开根号。

 如果v是一个二维向量，那么它的长度应该就是；如果v是一个三维向量，那么它的长度就是。在坐标中，它们的长度分别表示矩形和长方体对角线的长度。

在上面的内容中，我们谈到了零向量，对应的，存不存在一个一向量呢？答案是肯定的，只不过我们不把它叫做一向量，我们称它为单位向量（unit vector），单位矩阵是指长度为1的向量：

比如：

需要注意的是：长度为1的向量不是指它的每个元素都是1，比如 v = [1,1,1]，这个向量就不是单位向量。

1.2.2 两个向量之间的角度

其实在上面的内容中，我们就涉及到了两个向量之间的角度问题了。如果，这意味着它们之间是正交的，也就是说它们之间的角度是90度。

当两个向量正交的时候，我们可以根据向量的减法得到下面这个结论：

我们可以得出一个结论：

（1）如果，说明这两个向量之间的角度是90度

（2）如果，说明这两个向量之间的角度是钝角

（3）如果，说明这两个向量之间的角度是锐角

但是，怎么求得两个向量之间的角度到底是多少呢？我们不妨从一个特殊的向量开始：单位向量

对于任意的两个向量，我们只需要将它们都转换成单位向量就可以了。对于向量v，它的单位向量就是

总结：

1. 的计算的规则就是：对应元素相乘再相加

2. 向量v的长度：

3. 向量就是单位向量，它的长度等于1

4. 如果两个向量点乘为0，说明这两个向量之间的角度是90度

5. 求任意两个向量之间的角度，我们可以将其转换成单位向量，然后求单位向量之间的角度

3. 小结

（1）介绍了线性代数的核心：线性组合（加法和数乘）。不同向量的线性组合可以张成不同的多维空间。

（2）介绍了不同向量之间的乘法：点乘（对应元素相乘再相加），点乘结果的正负值表示两个向量的角度与90度之间的关系

（3）当两个进行点乘的时候，引出了向量长度以及单位向量的概念

（4）通过两个单位向量之间的角度计算公式，得出了任意两个向量之间的角度计算公式