线性代数介绍-1-向量

目录:

1 向量

1.1 向量和线性组合

1.2 向量的长度和点乘

1.2.1 向量的长度和单位向量

1.2.2 两个向量之间的角度

3. 小结


1 向量

线性代数的核心就是向量的两个运算:加法运算数乘运算。比如我们可以对v,w向量进行加法运算得到:v+w;我们也可以对v和w向量分别进行数乘运算得到:cv,cw。这两个基本的运算组合我们称之为向量的线性组合(linear combination),线性组合的思想也贯穿线性代数的始终。

本篇博客主要介绍一下两个内容:

1.1 向量和线性组合

1.2 向量的长度和点乘

1.1 向量和线性组合

对于解释向量的加法运算,这有一个特别形象的比喻 “You can't add apples and oranges” 。对于一个包含两个元素v1和v2的二维的向量来说,我们暂且将向量v看做是一个篮子,这个篮子中盛放着苹果和橘子。我们想要表示篮子中苹果和橘子的个数的,可以使用这样的表示形式:

 v1表示的就是苹果的个数,v2表示的就是橘子的个数。假如这边还有一个篮子w,里面还是存放着苹果和橘子,我们要计算两个篮子中苹果和橘子的个数,我们应该怎么进行运算?我们要将对应元素进行相加,换句话说,如果我们要分别计算苹果和橘子总的个数。

还有一个基本的运算:数乘运算,这边我就不仔细解释运算规则了:

加法运算和数乘运算两个的组合就构成了向量的线性组合。在线性组合的过程中,不可避免的会得到零向量0,零向量和零有什么区别嘛?零向量和0是两个不同的概念,零向量是指向量的所有元素都是零。比如一个二维零向量v就可以这样表示:v = [0, 0]。

我们可以在坐标系中可视化向量的加法(首尾相连):

线性代数介绍-1-向量_第1张图片

 对于一个向量v来说,它的线性组合就是:cu;对于两个向量uv来说,它的线性组合就有多个:cu+dv;而对于三个向量u,v,w来说,它的线性组合就是:cu+dv+ew。假设这三个向量都是在三维空间中,思考一下下面的下面个的向量在三维空间中表示的是什么意思:

1. 所有的组合cu表示的是什么?

2. 所有的组合cu+dv表示的是什么?

3. 所有的组合cu+dv+ew表示的是什么?

 如果这三个向量都是零向量,那它们的线性组合就是零向量。如果它们三个都是非零的常规向量的话,cu表示就是三维空间中的一条直线;cu+dv表示的就是三维空间中的一个平面;cu+dv+ew表示的就是整个三维空间。

线性代数介绍-1-向量_第2张图片

回顾主要思想:

1. 在二维平面中,向量v有两个元素v1和v2

2. v+w = (v1+w1,v2+w2)以及cv=(cv1,cv2)同时对各个元素进行计算

3. u和v的线性组合就是cu+dv+ew

4. 在三维空间中u或者u,v或者u,v,w它们的线性组合分别表示的就是一条直线,一个平面和整个三维空间

 

1.2 向量的长度和点乘

线性代数介绍-1-向量_第3张图片

案例一:从几何角度考虑

从上面我们观察到:两个向量点乘的结果为零,在数学中这个值通常意义非凡,但是在这个问题中,它们之间有什么几何意义呢?我们把这两个向量放在二维空间中进行考虑:

线性代数介绍-1-向量_第4张图片

我们可以看到这两个向量是相互垂直的。 因此,我们可以得出这样一个结论:当两个向量点乘为零的时候,这表示它们是相互正交的(垂直的)

案例二:从工程角度考虑

-1和2可以它们在x轴上距离原点的距离,4和2表示给这两个距离分配不同的权重,有点像“跷跷板”的两端加上不同权重的的感觉。最终它们的结果为零,这表示它们之间相互抵消,这个“跷跷板”最终处于平衡状态(它们与原点之间的距离大小相同,方向相反)

案例三:从经济学角度

假设我们有三类商品要进行出售或者购买(正号表示出售,负号表示购买)。每类商品的单价分别为(p1, p2, p3),购买或者售卖的各类商品的个数为(q1, q2, q3)。最终的收入就是:

 如果最终的结果为正,说明你盈利了;如果最终的结果为负,说明你亏损了;但是,如果最终的结果为,也就是两个向量的点乘为零,说明“收支平衡”。

简而言之,点乘的主要思想就是:对应元素相乘再相加

从上面的案例中,我们可以发现两个向量进行点乘在不同的场景中有着不同的含义,这也从另外一个层面上说明线性代数渗透在我们生活的方方面面中,而不局限于[ ]这个框框中

1.2.1 向量的长度和单位向量

在上一节中,我们讲到两个不同的向量v,w可以进行点乘运算。如果两个相同的向量,也就是w = v的时候,它们有什么特殊的含义嘛?

因为得到的结果是非负的,所以它们之间肯定不是垂直的,两个相同的向量应该是共线的,也就是说它们之间的角度为0。而最终的结果就表示这个向量长度的平方。也就是说向量的长度等于向量点乘然后开根号

 如果v是一个二维向量,那么它的长度应该就是\small \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}};如果v是一个三维向量,那么它的长度就是\small \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}。在坐标中,它们的长度分别表示矩形和长方体对角线的长度。

线性代数介绍-1-向量_第5张图片

在上面的内容中,我们谈到了零向量,对应的,存不存在一个一向量呢?答案是肯定的,只不过我们不把它叫做一向量,我们称它为单位向量(unit vector),单位矩阵是指长度为1的向量:

比如:

需要注意的是:长度为1的向量不是指它的每个元素都是1,比如 v = [1,1,1],这个向量就不是单位向量

1.2.2 两个向量之间的角度

其实在上面的内容中,我们就涉及到了两个向量之间的角度问题了。如果\small v\cdot w = 0,这意味着它们之间是正交的,也就是说它们之间的角度是90度。

当两个向量正交的时候,我们可以根据向量的减法得到下面这个结论:

我们可以得出一个结论

(1)如果\small v\cdot w = 0,说明这两个向量之间的角度是90度

(2)如果\small v\cdot w < 0,说明这两个向量之间的角度是钝角

(3)如果\small v\cdot w > 0,说明这两个向量之间的角度是锐角

线性代数介绍-1-向量_第6张图片

但是,怎么求得两个向量之间的角度到底是多少呢?我们不妨从一个特殊的向量开始:单位向量

对于任意的两个向量,我们只需要将它们都转换成单位向量就可以了。对于向量v,它的单位向量就是\small \frac{v}{||v||}

线性代数介绍-1-向量_第7张图片

总结

1. \small v\cdot w的计算的规则就是:对应元素相乘再相加

2. 向量v的长度:\small ||v|| = \sqrt{v\cdot v}

3. 向量\small {\tfrac{v}{||v||}}就是单位向量,它的长度等于1

4. 如果两个向量点乘为0,说明这两个向量之间的角度是90度

5. 求任意两个向量之间的角度,我们可以将其转换成单位向量,然后求单位向量之间的角度

3. 小结

(1)介绍了线性代数的核心:线性组合(加法和数乘)。不同向量的线性组合可以张成不同的多维空间。

(2)介绍了不同向量之间的乘法:点乘(对应元素相乘再相加),点乘结果的正负值表示两个向量的角度与90度之间的关系

(3)当两个进行点乘的时候,引出了向量长度以及单位向量的概念

(4)通过两个单位向量之间的角度计算公式,得出了任意两个向量之间的角度计算公式

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