傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓

文章目录

    • abstract
    • 正弦级数和余弦级数
      • 周期延拓
      • 奇偶延拓
        • 对延拓函数做区间限制
    • 小结
      • 偶延拓方法
      • 奇延拓方法

abstract

  • 傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓

正弦级数和余弦级数

  • 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项正弦级数
  • 偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项余弦级数
  • 准确来说,是傅里叶系数的 a n a_n an为0就是正弦级数,而不要求最终级数的形式中包含正弦函数;余弦级数类似

周期延拓

  • 若函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π],我们可以在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π) ( − π , π ] (-\pi,\pi] (π,π]的区间(即 ( − ∞ , − π ] (-\infin,-\pi] (,π] [ π , + ∞ ) [\pi,+\infin) [π,+))补充函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义,使它拓广为周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数 F ( x ) F(x) F(x),称为周期延拓
    • 这里 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π) [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]的写法的区别在于每个区间的端点处的定义
    • f ( x ) f(x) f(x) k π k\pi , k ∈ Z k\in\mathrm{Z} kZ时有间断点(比如第一类间断点)时,就有明显的区别

奇偶延拓

  • 在实际应用中,有时还需要把定义在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上的函数 f ( x ) f(x) f(x)展开成正弦级数或余弦级数
  • 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上,并且满足收敛定理的条件,那么我们在开区间 ( − π , 0 ) (-\pi,0) (π,0)补充定义,得到定义在 ( − π , π ] (-\pi,\pi] (π,π]上的函数 F ( x ) F(x) F(x),使它在 ( − π , π ) (-\pi,\pi) (π,π)上成为奇函数(偶函数)
  • 按照上述方法拓广函数的定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)
  • 将延拓后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必然是正弦级数或余弦级数
对延拓函数做区间限制
  • 限制 x ∈ ( 0 , π ] x\in(0,\pi] x(0,π],此时 F ( x ) ≡ f ( x ) F(x)\equiv{f(x)} F(x)f(x),便得到 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数(余弦级数)的展开式

小结

  • 奇延拓(偶延拓)是先将非奇函数(偶函数)拓广成单个周期内的奇函数(偶函数)
  • 而周期延拓在已经是奇函数(偶函数)的基础上,将定义域拓广到任意更多周期

偶延拓方法

  • 对于偶函数 F ( x ) F(x) F(x),它的图形关于 y y y轴对称

  • f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_{f} Df,且关于 y y y轴对称的图形对应的函数为 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x), ( x ∈ − D f ) (x\in{-D_{f}}) (xDf)

  • 我们有结论 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)= f ( − x ) f(-x) f(x);

    • f 1 f_1 f1的定义域为 D f 1 = − D f D_{f_1}=-D_{f} Df1=Df,(这里假设函数连续,否则要考虑间断点或者分段函数分段点)

      • 例如 D f = ( 0 , + ∞ ) D_{f}=(0,+\infin) Df=(0,+),则 − D f = ( − ∞ , 0 ) -D_{f}=(-\infin,0) Df=(,0)
    • 结论可由函数图形变换性质得出

    • 或由点坐标法得出: P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))的对称点为 Q ( − x , f ( x ) ) Q(-x,f(x)) Q(x,f(x)), Q Q Q满足 f 1 ( − x ) = f ( x ) f_1(-x)=f(x) f1(x)=f(x),即 f 1 ( x ) = f ( − x ) f_1(x)=f(-x) f1(x)=f(x)

奇延拓方法

  • 对于奇函数 F ( x ) F(x) F(x),它的图形关于原点对称

  • f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_{f} Df,并设 f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形对应的函数段为 f 1 ( x ) f_{1}(x) f1(x), ( x ∈ − D f ) (x\in{-D_{f}}) (xDf)

  • 我们有结论: f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)= − f ( − x ) -f(-x) f(x)

  • 结论的推导:根据函数图形翻折知识,可知,得到图形关于原点对称的图形有两种方法

    • 方法1:二次翻折法:可通过2步骤完成:
      1. f ( x ) f(x) f(x)的图像关于 y y y轴对称,得到 f ( − x ) f(-x) f(x)
      2. 在将 f ( − x ) f(-x) f(x)关于 x x x对称,得到 − f ( − x ) -f(-x) f(x)
    • 方法2:点坐标对称法,直接获得欲求函数
      • P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))为函数 f ( x ) f(x) f(x)上的点,则 P P P关于原点的对称点坐标为 Q ( − x , − f ( x ) ) Q(-x,-f(x)) Q(x,f(x))
      • Q Q Q f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的函数 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)的图形上,所以 Q Q Q坐标满足 f 1 ( − x ) = − f ( x ) f_1(-x)=-f(x) f1(x)=f(x),从而 f 1 ( x ) = − f ( − x ) f_1(x)=-f(-x) f1(x)=f(x)
  • 这就是说, f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形的解析式对应于 − f ( − x ) -f(-x) f(x),定义域为 − D f -D_{f} Df

  • 例如,对于 f ( x ) f(x) f(x)= 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x[0,π],求它展开成的正弦级数和余弦级数

    • 分析:对 f ( x ) f(x) f(x)进行周期延拓,即分别做奇延拓和偶延拓,可分别得到正弦级数和余弦级数展开式
  • 展开成正弦级数:

    • f ( x ) f(x) f(x)奇延拓:
      • ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)= 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x[0,π];
      • ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)= − ϕ ( − x ) -\phi(-x) ϕ(x)= − 2 x 2 -2x^2 2x2, x ∈ [ − π , 0 ) x\in[-\pi,0) x[π,0)
    • 再对 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)周期延拓,得到 F ( x ) F(x) F(x), x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in{(-\infin,+\infin)} x(,+)
    • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)满足收敛定理条件,
      • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) x = ( 2 k + 1 ) π x=(2k+1)\pi x=(2k+1)π, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ处间断
      • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)= f ( x ) f(x) f(x),所以它的傅里叶级数 F F F [ 0 , π ) [0,\pi) [0,π)上收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
      • 周期奇函数的性质可知,其傅里叶系数
        • a n a_{n} an=0, n = 0 , 1 , 2 , ⋯ n=0,1,2,\cdots n=0,1,2,
        • b n b_{n} bn= 2 π ∫ 0 π 2 x 2 sin ⁡ n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\sin{nx}\mathrm{d}x π20π2x2sinnxdx= 4 π ∫ 0 π x 2 sin ⁡ n x d x \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin{nx}\mathrm{d}x π40πx2sinnxdx
          • 使用2次分部积分,可得
          • b n b_n bn= − 4 n π ( π 2 cos ⁡ n π − 2 n 2 cos ⁡ n π + 2 n 2 ) -\frac{4}{n\pi}(\pi^2\cos{n}\pi-\frac{2}{n^2}\cos{n\pi}+\frac{2}{n^2}) 4(π2cosnπn22cos+n22)
            • = 4 π ( − π 2 n cos ⁡ n π + 2 n 3 cos ⁡ n π − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}(-\frac{\pi^2}{n}\cos{n\pi}+\frac{2}{n^3}\cos{n\pi}-\frac{2}{n^3}) π4(nπ2cos+n32cosn32)= 4 π ( − π 2 n ( − 1 ) n + 2 n 3 ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}(-\frac{\pi^2}{n}(-1)^{n}+\frac{2}{n^3}(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4(nπ2(1)n+n32(1)nn32)
            • = 4 π ( ( − π 2 n + 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}((-\frac{\pi^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4((nπ2+n32)(1)nn32); n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,
        • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)= 4 π ∑ n = 1 ∞ ( ( − π 2 n + 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infin}((-\frac{\pi^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4n=1((nπ2+n32)(1)nn32), x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in{(-\infin,+\infin)} x(,+)
        • f ( x ) f(x) f(x)= 4 π ∑ n = 1 ∞ ( ( − π 2 n + 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infin}((-\frac{\pi^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4n=1((nπ2+n32)(1)nn32), x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x[0,π)
          • 该式就是对延拓函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)做区间限制,即得 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数展开
    • 它是一个奇函数或者偶函数
    • 定义域是一个周期, [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]
  • 展开成余弦级数

    • 为此对函数 f ( x ) f(x) f(x)做偶延拓, ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)= 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ ( − π , π ] x\in(-\pi,\pi] x(π,π]
    • 再作 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)的周期延拓函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x),则 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)满足收敛定理的条件,且处处连续
    • [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上, Φ ( x ) = f ( x ) \Phi(x)=f(x) Φ(x)=f(x),所以它的傅里叶级数 F F F [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
      • b n = 0 b_{n}=0 bn=0, n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,
      • a 0 a_{0} a0= 2 π ∫ 0 π f ( x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x π20πf(x)dx= 2 π ∫ 0 π 2 x 2 d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\mathrm{d}x π20π2x2dx= 4 3 π 2 \frac{4}{3}\pi^{2} 34π2
      • a n a_{n} an= 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos{nx}\mathrm{d}x π20πf(x)cosnxdx= 2 π ∫ 0 π 2 x 2 cos ⁡ n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\cos{nx}\mathrm{d}x π20π2x2cosnxdx= ( − 1 ) n 8 n 2 (-1)^{n}\frac{8}{n^2} (1)nn28, ( n = 1 , 2 , ⋯   ) (n=1,2,\cdots) (n=1,2,)
    • 所以 f ( x ) f(x) f(x)= 1 2 4 3 π 2 \frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi^2 2134π2+ 8 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 8 n 2 cos ⁡ n x 8\sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n}\frac{8}{n^2}\cos{nx} 8n=1(1)nn28cosnx, x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x[0,π)

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