《离散数学》第二章：计数原理

2.1基本原理

2.1.1乘法原理

乘法原理 如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种不同的选择，第二步有n2种选择，…，第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所有可能的选择种数为：

n1­×n2×…×nt

2.1.2 加法原理

加法原理 假定X1，X2，…，Xi均为集合，第i个集合Xi中有ni个元素，若{X1，X2，…，Xi}为两两不相交的集合，则可以从X1，X2，…，Xi中选出的元素个数共有：

n1+ n2+…+ni

即集合X1∪X2∪…∪Xi含有n1+ n2+…+ni个元素

2.1.3 基本原理的难点

对于基本原理，需要注意以下几点：

1. 注意对乘法原理中“步骤”的理解。乘法原理可总结为：当一项工作分为若干步时，将每一步可选择的方法种数相乘便可的到这项工作的所有可选择的方法种数。
2. 加法原理的难点在于将一个集合分成若干个不相交的子集，并计算这些子集合的基数。如果完成一个任务可以采用多种不同的方法，每一种方法又有多种不同的选择，则完成该任务总的方法数等于不同方法的选择种数之和。
3. 运用乘法原理可对需要若干步完成的对象进行计数，当计算不相交自己中对象的总的个数时，可运用加法原理。正确判断什么情况下应该运用什么原理很重要。

2.2 排列与组合

从某个集合中有序地选取若干个元素的问题，称为排列问题。

2.2.1 排列问题

定义 从含有n个不同的元素的集合S中有序选取的r个元素叫做S的一个r排列，不同排列的个数记为Pnr称为排列数，如果r=n，则称这个排列为S的一个全排列，简称为S的排列。

显然，当n>r时，Pnr=0

定理 对满足r≤n的正整数n和r有

Pnr=n×（n-1）×…×[n-(r-1)]

推论： n个不同元素的排列共有n！个，其中

n！=n×（n-1）×…×2×1

n个人围坐圆桌旁，有（n-1）！种不同的坐法，这种排列称为环排列，从n个人种选出r个人围圆桌而坐称为环形r排列。

定理 含有n个不同元素的集合S的环形r排列数Pc（n，r）是

Pc（n，r）= Pnr/r=n!/r·(n-r)!

2.2.2 组合问题

定义 从含有n个不同元素的集合S中无序选取的r个元素叫做S的一个r组合，不同组合的个数记为Crn，称为组合数。

当n≥r且r=0时，规定Crn=1.

定理 对满足0

Crn=n!/r!(n-r)!

2.2.3 排列与组合的难点

对于排列与组合，需要注意以下几点：

1. 排列问题强调元素选取的“有序性”，这是排列问题的本质特征。
2. 记住排列数的计算公式是计算排列数的关键。
3. 注意环排列与排列都强调“有序性”，但环排列是排成一个圆环，而排列是排成一条线，排列数Pnr等于对应还排列数Pc（n，r）的r倍。
4. 组合问题强调元素选取的“无序性”，这是组合问题的本质问题。
5. 记住组合数的计算公式是计算组合数的关键，并注意它与排列数计算公式的关系。

2.3容斥原理

2.3.1容斥原理

定义 所谓容斥，是指人们在计算某类物体的数目时，要排斥那些不应包含在这个计数中的数目，但同时要包含那些被错误地排斥了的数目，以作补偿，这种原理称为容斥原理。

定理 设A和B为任意有限集合，有|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

推论 设U为全集，A和B是任意有限集合，则

定理 设A，B和C是任意三个有限集合，有|A∪B∪C|=(|A|+|B|+|C|)-（|A∩B|）-（|A∩C|）-（|C∩B|）+|A∩B∩C|

推论 设全集U，A和B，C是任意三个有限集合，有

定理 设A1，A2，…，An是任意n个有限集合，则

|A1∪A2­∪…∪An|=|Ai|-|Ai∩j|+|Ai∩Aj∩Ak|+…+（-1）n+1|A1∩A2∩…∩An|

推论 设U为全集，A1，A2，…，An是任意n个有限集合，则

2.3.2 鸽笼原理

鸽笼原理又称为抽屉原理或鸽舍原理

定理（鸽笼原理） 若有n+1只鸽子住进n个鸽笼，则有一个鸽笼至少住进2只鸽子。

证明（反证法）假设每个鸽笼至多住进一个鸽子，则n个鸽笼至多住进n只鸽子，这与有n+1只鸽子矛盾，故存在一个鸽笼至少住进2只鸽子。

注意

1. 鸽笼原理仅提供了存在性证明；
2. 使用鸽笼原理，必须能够正确识别鸽子（对象）和鸽笼（某类要求的特征），并且能够计算出鸽子数和鸽笼数。

定理 有n只鸽子住进m（n>m）个鸽笼，则存在一只鸽笼至少住进⌊n-1/m⌋+1只笼子，这里，⌊x⌋表示小于或等于x的最大整数。

2.3.3 容斥原理与鸽笼原理的难点

对于容斥原理与鸽笼原理，需要注意：

（1）“容斥”是先包容再排斥，是排除法的公式化表示。

（2）对较小的n，可以通过文氏图表示集合的方法理解容斥原理的计算公式。

（3）使用鸽笼原理的难点在于“鸽子”与“笼子”的确定，注意鸽子数比笼子多。

2.4 本章总结

主要知识点汇聚

1. 乘法原理和加法原理的基本含义，注意乘法原理和加法原理的区别。
2. r排列、全排列、环形r排列，环排列，r组合的基本概念，它们之间的联系与区别，相应的计算公式。
3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用