混合图的欧拉回路--最大流
欧拉回路，就是由一点出发，每一条边走且只走一次（顶点可以走多次）然后回到起点的路径，无向图是欧拉图当且仅当他的所有的顶点点的度为偶数，一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。那么混合图的欧拉判定。。。
混合图就是一个含有有向边和无向边的图，混合图判欧拉回路时用的是最大流，至于原理。。。。
转自牛人博客：
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
代表性的题目： pku 1637
代码
1
#include
<
stdio.h
>
2
#include
<
stdlib.h
>
3
#include
<
string
.h
>
4
#define
INF 0xfffffff
5
#define
MM 3050
6
#define
NN 250
7
8
/*
S表示源点，T表示汇点
*/
9
int
S, T, idx;
10
int
map[NN][NN],pre[NN];
11
12
int
Min(
int
a,
int
b){
13
return
a
<
b
?
a : b;
14
}
15
16
typedef
struct
node{
17
int
v, wt;
18
struct
node
*
nxt;
19
}NODE;
20
NODE edg[MM];
21
NODE
*
link[NN];
22
23
int
h[NN];
//
每个点的高度，即所在层的深度，源点为0
24
int
que[MM];
25
26
void
add(
int
u,
int
v,
int
x,
int
y){
27
edg[idx].v
=
v;
28
edg[idx].wt
=
x;
29
edg[idx].nxt
=
link[u];
30
link[u]
=
edg
+
idx;
31
idx
++
;
32
33
edg[idx].v
=
u;
34
edg[idx].wt
=
y;
35
edg[idx].nxt
=
link[v];
36
link[v]
=
edg
+
idx;
37
idx
++
;
38
}
39
40
bool
bfs()
41
{
42
int
u, v, w, tail, head;
43
memset(h,
-
1
,
sizeof
(h));
44
que[
0
]
=
S;
45
h[S]
=
0
;
46
tail
=
head
=
0
;
47
while
(head
<=
tail){
48
u
=
que[head
++
];
49
for
(NODE
*
p
=
link[u]; p; p
=
p
->
nxt){
50
v
=
p
->
v; w
=
p
->
wt;
51
if
(h[v]
==
-
1
&&
w
>
0
){
52
h[v]
=
h[u]
+
1
;
53
que[
++
tail]
=
v;
54
}
55
}
56
}
57
return
h[T]
!=
-
1
;
58
}
59
60
int
dfs(
int
u,
int
flow){
61
if
(u
==
T){
62
return
flow;
63
}
64
int
tmpf
=
0
;
65
int
v, w, f;
66
for
(NODE
*
p
=
link[u]; p; p
=
p
->
nxt){
67
v
=
p
->
v; w
=
p
->
wt;
68
if
(h[v]
==
h[u]
+
1
&&
w
&&
tmpf
<
flow
&&
(f
=
dfs(v, Min(w, flow
-
tmpf)))){
69
p
->
wt
-=
f;
70
int
t
=
p
-
edg;
71
if
(t
%
2
==
0
) edg[t
+
1
].wt
+=
f;
72
else
edg[t
-
1
].wt
+=
f;
73
tmpf
+=
f;
74
}
75
}
76
if
(tmpf
==
0
) h[u]
=
-
1
;
77
return
tmpf;
78
}
79
int
dinic()
80
{
81
int
ans
=
0
;
82
while
(bfs()){
83
ans
+=
dfs(S, INF);
84
}
85
return
ans;
86
}
87
void
init()
88
{
89
idx
=
0
;
90
for
(
int
i
=
S; i
<=
T; i
++
) link[i]
=
0
;
91
}
92
int
main()
93
{
94
int
ncase,m,s,i,x,y,v;
95
int
du[NN];
96
scanf (
"
%d
"
,
&
ncase);
97
while
(ncase
--
){
98
scanf (
"
%d%d
"
,
&
m,
&
s);
99
S
=
0
; T
=
m
+
1
; init();
100
//
for (i = S; i<= T; i++) link[i] = 0;
101
//
memset(map,0,sizeof(map));
102
memset(du,
0
,
sizeof
(du));
103
for
(i
=
0
; i
<
s; i
++
){
104
scanf (
"
%d%d%d
"
,
&
x,
&
y,
&
v);
105
if
(x
!=
y){
106
du[x]
++
; du[y]
--
;
107
if
(v
==
0
) add(x,y,
1
,
0
);
108
}
109
}
110
bool
flag
=
true
;
int
sum
=
0
;
111
for
(i
=
1
; i
<=
m; i
++
){
112
if
(du[i]
%
2
!=
0
){flag
=
false
;
break
;}
113
du[i]
/=
2
;
114
if
(du[i]
>
0
){
115
sum
+=
du[i];
116
add(S,i,du[i],
0
);
117
}
118
else
add(i,T,
-
du[i],
0
);
119
}
120
if
(flag
==
false
||
sum
!=
dinic()) printf (
"
impossible\n
"
);
121
else
printf (
"
possible\n
"
);
122
}
123
return
0
;
124
}