差分约束系统 与 最短路

　　《挑战程序设计》讲最短路的时候提到了简单的差分约束系统求解(poj 3169) , 但是没有讲清楚是怎么转化成最短路问题的.

　　有几点要搞清楚:

　　1. 边代表什么,路径代表什么;

　　　　考虑2个约束条件

　　　　(1) wi - wj <= a
　　　　(2) wj - wk <= b

　　　　那么要得到i与k的关系,根据不等式的性质 (1) + (2)得

　　　　wi - wk <= a+b  (除了2个端点外的中间点都被消去了)

　　　　这个关系是通过(1)和(2)的相加关系得到的 , 因此(1)和(2)可以看作2条边 (i,j,a) 和 (j,k,b) , 一条路径就表示了段连续的相加关系.

　　　　另外 , 为了满足不等式的可加性和传递性, 必须确定并且统一好符号 , 经过统一处理后的不等式组,本质上就是一个图了.

　　2. 为什么是最短路;

　　　　现在,这些不等式组可以作为图来看,然后考虑更复杂一点的情况：

　　　　(1) wi - wj  <= 3

　　　　(2) wj - wk <= 4

　　　　(3) wi - wk <= 3

　　　　如果想知道i与k的不等式关系 , 会得到2个回答 ,

　　　　wi - wk <= 7 ( (1) + (2)得到) 

　　　　wi - wk <= 3 

　　　　当然根据不等式的运算法则 , 最终答案是第二个 ,  所以当我们需要知道两个点在整个不等式组中的关系时,需要求2点间的最短路.