伸展树

没看懂，多看几遍吧

1 简介：
伸展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。
伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。

2 自调整和均摊分析：
    平衡查找树的一些限制：
1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。
2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。
    平衡查找树可以考虑提高性能的地方：
1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4、处理好那90%的情况就很好了。

3 均摊时间边界：
在一颗二叉树中访问一个节点的时间复杂度是这个节点的深度。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。根据上面的90-10法则，这样做可以提高性能。
为了达到上面的目的，我们需要使用一种策略──旋转到根(rotate-to-root)。具体实现如下：

旋转分为左旋和右旋，这两个是对称的。图示：

 

为了叙述的方便，上图的右旋叫做X绕Y右旋，左旋叫做Y绕X左旋。

下图展示了将节点3旋转到根：

首先节点3绕2左旋，然后3绕节点4右旋。
注意：所查找的数据必须符合上面的90-10法则，否则性能上不升反降！！

4 基本的自底向上伸展树：
    应用伸展（splaying）技术，可以得到对数均摊边界的时间复杂度。
    在旋转的时候，可以分为三种情况：

1、zig情况。

 X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。
    如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：

 

这和一个普通的单旋转相同。

2、zig-zag情况。
在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。
先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。

3、zig-zig情况。
    这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。
    先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。

下面是splay的伪代码：

P(X) : 获得X的父节点，G(X) : 获得X的祖父节点（=P(P(X))）。

Function Buttom-up-splay:
        Do
            If X 是 P(X) 的左子结点 Then
                If G(X) 为空 Then
                    X 绕 P（X）右旋
                Else If P（X）是G（X）的左子结点
                    P(X) 绕G(X)右旋
                    X 绕P(X)右旋
                Else
                    X绕P(X)右旋
                    X绕P(X)左旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
                Endif
            Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
                If G(X) 为空 Then
                    X 绕 P（X）左旋
                Else If P（X）是G（X）的右子结点
                    P(X) 绕G(X)左旋
                    X 绕P(X)左旋
                Else
                    X绕P(X)左旋
                    X绕P(X)右旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
                Endif 
            Endif
        While (P(X) != NULL)
    EndFunction

仔细分析zig-zag，可以发现，其实zig-zag就是两次zig。因此上面的代码可以简化：

Function Buttom-up-splay:
        Do
            If X 是 P(X) 的左子结点 Then
                If P（X）是G（X）的左子结点
                    P(X) 绕G(X)右旋
                Endif
                X 绕P(X)右旋
            Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
                If P（X）是G（X）的右子结点
                    P(X) 绕G(X)左旋
                Endif 
                X 绕P(X)左旋
            Endif
        While (P(X) != NULL)
    EndFunction

下面是一个例子，旋转节点c到根上。 

 

5 基本伸展树操作：

1、插入：
    当一个节点插入时，伸展操作将执行。因此，新插入的节点在根上。
2、查找：
    如果查找成功（找到），那么由于伸展操作，被查找的节点成为树的新根。
如果查找失败（没有），那么在查找遇到NULL之前的那个节点成为新的根。也就是，如果查找的节点在树中，那么，此时根上的节点就是距离这个节点最近的节点。
3、查找最大最小：
   查找之后执行伸展。
4、删除最大最小：
a)删除最小：
     首先执行查找最小的操作。
　　这时，要删除的节点就在根上。根据二叉查找树的特点，根没有左子节点。
　　使用根的右子结点作为新的根，删除旧的包含最小值的根。
b)删除最大：
　　首先执行查找最大的操作。
　　删除根，并把被删除的根的左子结点作为新的根。
5、删除：
      将要删除的节点移至根。
      删除根，剩下两个子树L（左子树）和R（右子树）。
      使用DeleteMax查找L的最大节点，此时，L的根没有右子树。
      使R成为L的根的右子树。

如下图示：

6 自顶向下的伸展树：
    在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
    当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：

1、zig：

 

如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。

2、zig-zig:

　

在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。

3、zig-zag:

 在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
    最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：

将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
    下面给出伪代码：
    右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
    左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
    T ： 当前的根节点。

 1 Function Top-Down-Splay 
 2      Do 
 3           If X 小于 T Then 
 4                If X 等于 T 的左子结点 Then  
 5                  右连接 
 6                ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then 
 7                  T的左子节点绕T右旋 
 8                  右连接 
 9                Else X大于 T 的左子结点 Then 
10                  右连接 
11                  左连接 
12                EndIf    
13           ElseIf X大于 T Then 
14                IF X 等于 T 的右子结点 Then 
15                  左连接 
16                ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then 
17                  T的右子节点绕T左旋 
18                  左连接 
19                Else X小于 T 的右子结点‘ Then 
20                  左连接 
21                  右连接 
22                EndIf 
23           EndIf 
24      While  ！(找到 X或遇到空节点) 
25       组合左中右树 
26 EndFunction

同样，上面的三种情况也可以简化：

 1   Function Top-Down-Splay
 2         Do 
 3               If X 小于 T Then 
 4                    If X 小于 T 的左孩子 Then 
 5                      T的左子节点绕T右旋 
 6                    EndIf    
 7                 右连接 
 8               Else If X大于 T Then 
 9                    If X 大于 T 的右孩子 Then 
10                      T的右子节点绕T左旋
11                    EndIf 
12 左连接 
13          EndIf 
14 While  !(找到 X或遇到空节点) 
15 组合左中右树 
16     EndFuntion

下面是一个查找节点19的例子：
    在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。

 这个例子是查找节点c：

最后，给一个用C语言实现的例子：

  1 /*
  2                  An implementation of top-down splaying
  3                      D. Sleator <[email protected]>
  4                               March 1992
  5   */
  6  #include <stdlib.h>
  7  #include <stdio.h>
  8   int size;  /* number of nodes in the tree */
  9             /* Not actually needed for any of the operations */
 10  typedef struct tree_node Tree;
 11   struct tree_node
 12  {
 13      Tree * left, * right;
 14      int item;
 15  };
 16  
 17  Tree * splay (int i, Tree * t)
 18  {
 19   /* Simple top down splay, not requiring i to be in the tree t.  */
 20   /* What it does is described above.                             */
 21      Tree N, *l, *r, *y;
 22      if (t == NULL)
 23          return t;
 24      N.left = N.right = NULL;
 25      l = r = &N;
 26      for (;;)
 27      {
 28          if (i < t->item)
 29          {
 30              if (t->left == NULL)
 31              {
 32                  break;
 33              }
 34              if (i < t->left->item)
 35              {
 36                  y = t->left;                           /* rotate right */
 37                  t->left = y->right;
 38                  y->right = t;
 39                  t = y;
 40                  if (t->left == NULL)
 41                  {
 42                      break;
 43                  }
 44              }
 45              r->left = t;                               /* link right */
 46              r = t;
 47              t = t->left;
 48          }     
 49          else if (i > t->item)
 50          {    
 51              if (t->right == NULL)
 52              {
 53                  break;
 54              }
 55              if (i > t->right->item)
 56              {
 57                  y = t->right;                          /* rotate left */
 58                  t->right = y->left;
 59                  y->left = t;
 60                  t = y;
 61                  if (t->right == NULL)
 62                  {
 63                      break;
 64                  }
 65              }
 66              l->right = t;                              /* link left */
 67              l = t;
 68              t = t->right;
 69          }     
 70          else    
 71          {
 72              break;
 73          }
 74      }
 75      l->right = t->left;                                /* assemble */
 76      r->left = t->right;
 77      t->left = N.right;
 78      t->right = N.left;
 79      return t;
 80  }
 81   /* Here is how sedgewick would have written this.                    */
 82  /* It does the same thing.                                           */
 83  Tree * sedgewickized_splay (int i, Tree * t)
 84  {
 85      Tree N, *l, *r, *y;
 86      if (t == NULL)
 87      {
 88          return t;
 89      }
 90      N.left = N.right = NULL;
 91      l = r = &N;
 92      for (;;)
 93      {
 94          if (i < t->item)
 95          {
 96              if (t->left != NULL && i < t->left->item)
 97              {
 98                  y = t->left;
 99                  t->left = y->right;
100                  y->right = t;
101                  t = y;
102              }
103              if (t->left == NULL)
104              {
105                  break;
106              }
107              r->left = t;
108              r = t;
109              t = t->left;
110          }
111          else if (i > t->item)
112          {
113              if (t->right != NULL && i > t->right->item)
114              {
115                  y = t->right;
116                  t->right = y->left;
117                  y->left = t;
118                  t = y;
119              }
120              if (t->right == NULL)
121              {
122                  break;
123              }
124              l->right = t;
125              l = t;
126              t = t->right;
127          }
128          else
129          {
130              break;
131          }
132      }
133      l->right=t->left;
134      r->left=t->right;
135      t->left=N.right;
136      t->right=N.left;
137      return t;
138  }
139  
140  Tree * insert(int i, Tree * t)
141  {
142  /* Insert i into the tree t, unless it's already there.    */
143  /* Return a pointer to the resulting tree.                 */
144      Tree * new;
145      
146      new = (Tree *) malloc (sizeof (Tree));
147      if (new == NULL)
148      {
149          printf("Ran out of space\n");
150          exit(1);
151      }
152      new->item = i;
153      if (t == NULL)
154      {
155          new->left = new->right = NULL;
156          size = 1;
157          return new;
158      }
159      t = splay(i,t);
160      if (i < t->item)
161      {
162          new->left = t->left;
163          new->right = t;
164          t->left = NULL;
165          size ++;
166          return new;
167      }
168      else if (i > t->item)
169      {
170          new->right = t->right;
171          new->left = t;
172          t->right = NULL;
173          size++;
174          return new;
175      }
176      else
177      {
178          /* We get here if it's already in the tree */
179          /* Don't add it again                      */
180          free(new);
181          return t;
182      }
183  }
184  
185  Tree * delete(int i, Tree * t)
186  {
187  /* Deletes i from the tree if it's there.               */
188  /* Return a pointer to the resulting tree.              */
189      Tree * x;
190      if (t==NULL)
191      {
192          return NULL;
193      }
194      t = splay(i,t);
195      if (i == t->item)
196      {               /* found it */
197          if (t->left == NULL)
198          {
199              x = t->right;
200          }
201          else
202          {
203              x = splay(i, t->left);
204              x->right = t->right;
205          }
206          size--;
207          free(t);
208          return x;
209      }
210      return t;                         /* It wasn't there */
211  }
212  
213  int main(int argv, char *argc[])
214  {
215  /* A sample use of these functions.  Start with the empty tree,         */
216  /* insert some stuff into it, and then delete it                        */
217      Tree * root;
218      int i;
219      root = NULL;              /* the empty tree */
220      size = 0;
221      for (i = 0; i < 1024; i++)
222      {
223          root = insert((541*i) & (1023), root);
224      }
225      printf("size = %d\n", size);
226      for (i = 0; i < 1024; i++)
227      {
228          root = delete((541*i) & (1023), root);
229      }
230      printf("size = %d\n", size);
231  }

原文摘自：

http://www.cnblogs.com/kernel_hcy/archive/2010/03/17/1688360.html