离散数学

【1】柯尼斯堡问题-每条边只经过一次，顶点可以经过多次。

定理一：无向连通图G具有一条欧拉路径当且仅当G具有零个或两个奇数次数的顶点。

定理二：一个无向连通图是欧拉图，当且仅当改图的定点次数都是偶数。

　　　　　　欧拉路径与欧拉图不同，不需要回到起始点。

关联问题1：

一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边得连通图G(S,E)。能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎么判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。

对于图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能偶遍历完所有的边而没有重复。

一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画得图，探讨最少能用多少笔来画成。

几笔画定理 如果有限连通图G有2k个奇顶点，那么它可以用k笔画成，并且至少要用k笔画出。若k=1，则是上述柯尼斯堡问题有欧拉路径。

关联问题2：

几笔图还是每条边走一次，但是若要每条边走n次。

若n为奇数--则用上面的定理可直接求出。

若n为偶数--则只需一笔就可以完成，可一来一回消除毛刺。