BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884

题意：求 222...modp 的值，多组询问。 p≤107 。

题解：
考虑欧拉定理，当 (a,p)=1 时， aϕ(p)≡1(modp) 。
而由此可以很容易得出一个结论：
当 x≥ϕ(p) 时，有

ax≡axmodϕ(p)+ϕ(p)(modp)

有一种证明过程和扩展大步小步算法的消因子过程类似，不嫌麻烦可以参见 AekdyCoin的文章 【关于 A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C) 的若干证明】【指数循环节】

回到本题，若令 f(p)=222...modp ，则 f(1)=0 。
又由于是无穷的式子， 222... 的指数本来就是超过 ϕ(p) 的，所以我们可以改写成

f(p)=2(22...modϕ(p))+ϕ(p)modp=2f(ϕ(p))+ϕ(p)modp

因而得到了 f(p) 的递推式。

似乎这么计算是 O(p) 的，但是我们可以对 ϕ(ϕ(...ϕ(p))) 进行分析：
若 p 为偶数，则 ϕ(p)≤p2 ;
若 p 为奇数，则 p 存在一个奇数因子 q ，使得 ϕ(p) 存在一个偶数因子 (q−1) ，转化为偶数的情况。
由此可知， ϕ(ϕ(...ϕ(p))) 的计算经过 O(logp) 次的迭代就到了 1 ，所以 f(p) 的计算是 O(p√logp) 的。

出题人给出的解法也是 O(p√logp) 的，有兴趣的不妨去看一下。

代码：

#include <map> 
#include <cstdio>
using namespace std;
map<int, int> f;
int pow(int x, int k, int p)
{
    int ret = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
            ret = (long long)ret * x % p;
        x = (long long)x * x % p;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int phi(int x)
{
    int ret = x;
    for(int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if(x % i == 0)
        {
            ret -= ret / i;
            while(x % i == 0)
                x /= i;
        }
    if(x > 1)
        ret -= ret / x;
    return ret;
}
int F(int x)
{
    if(f.count(x))
        return f[x];
    int p = phi(x);
    return f[x] = pow(2, F(p) + p, x);
}
int main()
{
    int t, n;
    scanf("%d", &t);
    f[1] = 0;
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\n", F(n));
    }
    return 0;
}