ZOJ 3881 From the ABC conjecture

题目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3881

题意：
问题和ABC猜想无关，定义 rad(n) 表示 n 的因子中最大的无平方因子数， φ(n) 表示不大于 n 且与 n 互质的正整数个数，令 f(n)=rad(n)⋅φ(nrad(n)),g(n)=∑d|nf(d),h(n)=∑ni=1g(i) ，给定正整数 N ，求 h(N)mod(109+9) 的值。
n≤1012 。

题解：
若 n=∏ti=1pkii ，则 rad(n)=∏ti=1pi ，是一个积性函数。
而对于 (n,m)=1 ，显然有 (nrad(n),mrad(m))=1 ，则 f(n⋅m)=rad(n⋅m)⋅φ(n⋅mrad(n⋅m))=rad(n)⋅rad(m)⋅φ(nrad(n))⋅φ(mrad(m))=f(n)⋅f(m) ，也是一个积性函数。
那么 g(n)=∑d|nf(d)=∏ti=1∑kij=0f(pji)=∏ti=1(1+pi⋅∑kij=1φ(pj−1i))=∏ti=1(pkii+1) 。
仔细看 g(n) 的式子，相当于选出了一些 n 的约数 d 进行求和，而且每个质因数 pi 要么不选，要么选 pkii ，这样的 d 是满足 (d,nd)=1 的，因此 g(n)=∑d|n[(d,nd)=1]⋅d=∑ni=1∑nj=1[(i,j)=1]⋅[ij=n]⋅i 。
那么有 h(n)=∑nk=1∑ni=1∑nj=1[(i,j)=1]⋅[ij=k]⋅i=∑ni=1∑nj=1[(i,j)=1]⋅[ij≤n]⋅i 。
所以有

h(n)=∑i=1n∑j=1n[(i,j)=1][ij≤n]i

利用 [n=1]=∑d|nμ(d) 得

h(n)=∑i=1n∑j=1n[ij≤n]i∑d[d|i][d|j]μ(d)

而当 ij≤n 时， d≤min(i,j)≤n−−√ ，故有

h(n)=∑d=1n√dμ(d)∑i=1n∑j=1n[d|i][d|j][ij≤n]id=∑d=1n√dμ(d)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[ijd2≤n]i

可以发现 j 很容易被消除， i 有更严格的上界，所以

h(n)=∑d=1n√dμ(d)∑i=1⌊nd2⌋⌊ni⋅d2⌋i=∑d=1n√dμ(d)s(⌊nd2⌋)

其中 s(n)=∑ni=1i⋅⌊ni⌋=∑ni=1σ(i) 可以 O(n−−√) 计算。
注意到这里复杂度下界已经是 O(n−−√) ，所以枚举 d 即可，不需要根据 ⌊nd2⌋ 进行分段计算。
设计算 h(n) 的时间复杂度为 T(n) ，则

T(n)=O(n−−√+∑d=1n√ni2−−−√)=O(n−−√∑d=1n√1i)=O(n−−√logn)

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int maxn = 1000001, mod = 1000000009, inv2 = 500000005;
int f[maxn];
int s(LL n)
{
    int res = 0;
    for(LL i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
    {
        j = n / (n / i);
        res = (res + n / i % mod * ((j - i + 1) % mod) % mod * ((i + j) % mod)) % mod;
    }
    res = (LL)res * inv2 % mod;
    return res;
}
int main()
{
    f[1] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; ++i)
    {
        for(int j = i + i; j < maxn; j += i)
            f[j] -= f[i];
        f[i] *= i;
    }
    for(LL n; scanf("%lld", &n) == 1; )
    {
        int ans = 0, lim = (int)ceil(sqrt(n));
        for(int i = 1; i <= lim; ++i)
            if(f[i])
                ans = (ans + (LL)f[i] * s(n / i / i)) % mod;
        if(ans < 0)
            ans += mod;
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}