bzoj4517【SDOI2016】排列计数

4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

HINT

Source

鸣谢Menci上传

组合数取模+错排问题

首先很显然答案等于C(n,m)*f[n-m]，其中f[n-m]表示(n-m)个数全部排错位置的方案数。

组合数取模只要预处理阶乘和阶乘的逆元就可以，问题在于如何快速求f数组。

对于f数组，有一个递推关系f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)，这个错排方案的公式还是要记住的...

证明如下：

1-n一共n个数全部排错，假设1排到了位置k(k≠1)。

如果k排到位置1，那么对于剩余(n-2)个数全部排错，方案数是f[n-2]。如果k没有排到位置1，考虑位置k到位置1有一个【传送门】，那等于是对于2-k的数全部排错，方案数是f[n-1]。而k有(n-1)种取值，则f[n]=(f[n-1]+f[n-2])*(n-1)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
using namespace std;
int t,n,m,x,y;
ll f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int main()
{
	fac[0]=1;
	F(i,1,1000000) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[0]=1;inv[1]=1;
	F(i,2,1000000)
	{
		x=mod/i+1;y=x*i-mod;
		inv[i]=inv[y]*x%mod;
	}
	F(i,1,1000000) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
	f[0]=1;f[1]=0;
	F(i,2,1000000) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod*(i-1)%mod;
	t=read();
	while (t--)
	{
		n=read();m=read();
		printf("%lld\n",fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod*f[n-m]%mod);
	}
	return 0;
}