差分约束

最近想学习差分约了。。

整理一下资料吧

     所谓差分约束系统，是指一组不定方程(A,x,T,b)，其中A的每行有一个1，一个-1，其余为0，x为解向量，T为<=或>=组成的向量，b为约束矢量。具体来说，就是每行都具有 xi-xj >=|<= bi 的形式。约束的目标是使得目标函数xt-xs最大或最小。

       假设一个系统由n个变量和m和约束条件组成，约束条件形如：xj - xi <= bk;

类似于最短路中的三角不等式:dis[j] <= dis[k] + map[k][j];也就是：dis[j] - dis[k] <= map[k][j]; 这就把差分约束转化成了单源最短路径

因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi <= bk. 连接一条边（i,j）边权为bk

增加一个源点s，s与所有定点相连，边权都是0.对于这个图，以s为源点运行bellman-ford（或spfa算法）最终dis[i]为一组可行解

例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，

满足下列8个差分约束条件： x1-x2≤0  x1-x5≤-1  x2-x5≤1   x3-x1≤5    x4-x1≤4   x4-x3≤-1    x5-x3≤-3   x5-x4≤-

该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。

 

引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。

差分约束系统中源点到每个点的距离确定

关于Dist[]的初始化化

1.如果将源点到各点的距离初始化为0，最终求出的最短路满足 它们之间相互最接近了

2.如果将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大)，其中之1为0，最终求出的最短路满足 它们与该点之间相互差值最大。

差分约束系统的应用特性：
>=，求最小值，做最长路；
<=，求最大值，做最短路。
边都是从后往前～～～
<=构图。
有负环说明无解。
求不出最短路（为Inf）为任意解。
>=构图时类似。