[JZOJ junior 2042] SuperPow

题目描述

众所周知，a^b表示a的b次幂。例如：2^3=2*2*2=8。
一天，某只肥皂很无聊，于是在纸上写了形如a^b的式子玩。FL见到了，过来一起玩。突然，FL脑洞一开：我给你普及一个符号“^^”，叫做超级幂。a^^b表示a^(a^(a^(a^a^(…))))，共b个a。例如2^^3=2^(2^2)=2^4=16。那么你知道a^^b的个位数是多少么？
肥皂表示一脸懵逼，于是一旁看热闹的YDL出现了，随手写了一个式子：(a1^^b1)(a2^^b2)(a3^^b3)……..(an^^bn)，保证ai的个位数不等于2或4或8。说，请求出这个式子的个位数。
肥皂和FL两脸懵逼。现在FL只好想你求助了。
注意：a^^0=1,表示有0个a, 例如: 3^^0=1

Analysis

这题是教练叫我们出题，本蒟蒻出的一道题，竟然用来给小学生考试了。
题目中的肥皂就是lzh，FL就是howarLi，当然YDL就是我。
其实就是一道大水题啦，本人实力有限，只出了这么一题。
题解如下：
我们可以分类讨论（好像也可以找规律）。
对于各组数据之间是独立的，所以我们先只考虑(ai^^bi) mod 10
因为题目只要求输出个位，所以可以让 ci=ai mod 10.
然后有 0<=ci<=9，ci 是整数。
若 ci=1 ，则不管它套上多少个幂，其个位数永远是 1 （显然）。
同理，当 ci=0 或 5 或 6 时，其个位数永远是 0 或 5 或 6 .
因为题目限制了 ci 不等于 2 或 4 或 8 ,所以我们要考虑的数只剩下 3,7,9 了。
当 ci=3 或 7 时:
因为 34≡1(mod 10),74≡1(mod 10) 。
所以 ci 的指数 aiaiai...(bi−1个ai) 就相当于其 mod 4 后的结果。
以 ci=3 为例。不论如何，易证 ai≡1 或 −1(mod 4)
若 ai≡1(mod 4) ，则原式变成了ci^1^1^1^1^1…..=ci，个位数就是 ci 。
否则 ai≡−1(mod 4) ，则原式变成了ci^(-1)^(-1)^(-1)….=ci^(-1)=ci^3，个位数易求。
当 ci=9 时 92≡1(mod 10) ，同样的方法处理即可。
其实这道题的 bi 并没有实际性的用处，只是用来吓人的。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=100010;
int main()
{
    freopen("superpow.in","r",stdin);
    freopen("superpow.out","w",stdout);
    int T,n,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int ans=1;
        scanf("%d",&n);
        fo(i,1,n)
        {
            scanf("%d %d",&x,&y);
            int z=x%10;
            if(y==0) continue;
            if(y==1)
            {
                ans=ans*z%10;
                continue;
            }
            if(z==0 || z==1 || z==5 || z==6 || z==9)
            {
                ans=ans*z%10;
                continue;
            }
            if(z==3 || z==7)
            {
                if(x%4==1) ans=ans*z%10;
                else ans=ans*(z*z*z%10)%10;
                continue;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}