————杜教筛

[联合集训6-26] 盒子 莫比乌斯反演+杜教筛

题目就是求∑ni=1∑nj=1i+jgcd(i,j)−2n2∑i=1n∑j=1ni+jgcd(i,j)−2n2枚举d=gcd(i,j)d=gcd(i,j)，∑d=1n∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]i+jd∑d=1n∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]i+jd莫比乌斯反演，∑k=1nμ(k)∑d=1⌊nk⌋∑i=1⌊nkd⌋∑i=1⌊nkd⌋ikd+jkdd=∑k=1nμ(k)
DOFYPXY·2018-06-26 20:13

胡小兔的杜教筛学习笔记

好久没写数论题，今天在51nod抓了一道，发现自己早就把杜教筛忘得一干二净啦~所以今天我把杜教筛学习笔记整理一下，防止以后再次忘记=v=[Warning]杜教筛复杂度证明我暂时还不会>_#include
胡小兔·2018-06-08 10:00

欧拉函数性质

https://blog.csdn.net/yxuanwkeith/article/details/52387873数论学习笔记欧拉函数（一些性质和运用）内置杜教筛2016年09月01日15:31:04
比特飞流·2018-05-17 10:00

bzoj3944 Sum（杜教筛）

杜教筛裸题。。。mu函数的前缀和怎么搞呢，我们有μ∗1=ϵ令g=1就好了。
Icefox_zhx·2018-05-07 21:12

学习笔记第五节：莫比乌斯反演

假如现在要求,.开到更大可以用杜教筛来做。那么我们可以把后面的，换成就变成了那么我们又可以预处理的前缀和，又可以对后面的东西进行整除分块。时间就是了。（认为n,m同阶）。
Deep_Kevin·2018-05-07 13:03

luogu 3768 简单的数学题 莫比乌斯反演+杜教筛

题意给出n,pn,p，求(∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j))modp(∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j))modpn≤1010n≤1010分析不多说，直接上式子∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=∑d=1nd3∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋ij[gcd(i,j)=1]=∑d=1nd3∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋ij[gcd(i,j)
SFN1036·2018-04-26 14:06

【杜教筛】【GDOI2018Day1模拟4.17】呼吸决定

题意求∑ni=1μ(i)∗im∑i=1nμ(i)∗imm#include#include#include#include#definefo(i,a,b)for(i=a;i=a;i--)#definelllonglongusingnamespacestd;constintmd=998244353,mt=4e6;intf[mt+5],st[mt+5],s[mt+5],miu[mt+5];intpre[
❤1Marcus1❤·2018-04-18 21:30

莫比乌斯反演与杜教筛

以下内容均来自TA爷课件，我只是改了几个小的地方qwq关于除法⌊ni⌋⌊ni⌋只有O(n−−√)O(n)种取值。2.对于ii，⌊n⌊ni⌋⌋⌊n⌊ni⌋⌋是与i被n除并下取整取值相同的一段区间的右端点。3.一个很有用的性质：⌊nab⌋=⌊⌊na⌋b⌋=⌊⌊nb⌋a⌋⌊nab⌋=⌊⌊na⌋b⌋=⌊⌊nb⌋a⌋上取整也有3所述的性质。积性函数f(ab)=f(a)f(b),(a,b)=1f(ab)=f(
DT_Kang·2018-04-14 22:38

「洛谷P3768」简单的数学题 莫比乌斯反演+杜教筛

题目链接简单的数学题题目描述输入一个整数n和一个整数p，你需要求出\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i\cdotj\cdotgcd(i,j))\mod\p\]其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数输入一行两个整数\(p,n\)输出一行一个整数，为题目中所求值样例样例输入9982443532000样例输出883968974数据范围\(n\leq10^{
ModestStarlight·2018-04-07 09:00

【luogu3768】简单的数学题 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛

题解欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛推式子：$$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_
GXZlegend·2018-04-05 14:00

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演（PS：在评论区中众多dalao的催促下，我认真的写了三天三夜写完了这篇杜教筛，保证是精品！）
pengym·2018-03-26 19:00

bzoj3944 Sum 杜教筛

模板题，注意杜教筛化式子的技巧：1、构造求和函数2、利用积性函数约数性质3、做差算出单项4、约数倍数转化贡献5、分块求商码：#include#include#include#includeusingnamespacestd
_hlly_·2018-03-16 14:22

51nod 欧拉函数之和

跟上面一题一样，也是杜教筛的基础题。推导也跟上面一题基本一样。
HermioneL·2018-03-05 10:27

BZOJ3512：DZY Loves Math IV （杜教筛）

题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512题目分析：很早就听说这是道神仙题，所以一直没有做。后来洛谷的某场比赛，T1和这题很像，然而我推了1h也化不开ϕ(ij)ϕ(ij)（也许我智商太低），最后在该题取得了0分的好成绩QAQ。于是我决定过来学一学关于ϕϕ的一些新姿势。首先有以下四条式子成立：令d=gcd(i,j)d=gcd(
KsCla·2018-03-03 10:49

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV 杜教筛+记忆化搜索

发现nn只有=105=105，我们先考虑S(n,m)=∑mi=1φ(ni)S(n,m)=∑i=1mφ(ni)怎么求。先把nn分成两部分，n1=∏pin1=∏pi，即所有质因子一次幂的乘积，n2=∏pci−1in2=∏pici−1，即剩下的。不难发现φ(n)=φ(n1)∗n2φ(n)=φ(n1)∗n2。S(n,m)=n2∑i=1mφ(n1i)=n2∑i=1mφ(n1)φ(i)gcd(n1,i)φ(g
DOFYPXY·2018-02-19 12:01

[杜教筛 反演] LOJ#6229. 这是一道简单的数学题

(i,n)=1]=[n=1]+nφ(n)2所以就有ans=n2+12∑d=1n∑i=1⌊nd⌋i2φ(i)考虑∑ni=1i2φ(i)的出现次数，可以得到ans=n2+12∑i=1ni2φ(i)⌊ni⌋杜教筛
LowestJN·2018-01-18 20:43

[杜教筛 反演] LOJ#6229. 这是一道简单的数学题

(i,n)=1]=[n=1]+nφ(n)2所以就有ans=n2+12∑d=1n∑i=1⌊nd⌋i2φ(i)考虑∑ni=1i2φ(i)的出现次数，可以得到ans=n2+12∑i=1ni2φ(i)⌊ni⌋杜教筛
LowestJN·2018-01-18 20:43

[杜教筛 莫比乌斯反演][BZOJ]4916: 神犇和蒟蒻(我)

4916:神犇和蒟蒻TimeLimit:10SecMemoryLimit:512MBSubmit:326Solved:207[Submit][Status][Discuss]Description很久很久以前，有一只神犇叫yzy;很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;Input请你读入一个整数N;1#include#defineMod1000000007#defineN1000000intn,prim
Axcosin·2018-01-09 18:13

[杜教筛] BZOJ3512. DZY Loves Math IV

%%%Vectorxjhttp://blog.csdn.net/vectorxj/article/details/78857079#include#include#include#includeusingnamespacestd;typedefpairpar;constintN=1e6+10,P=1e9+7;intmu[N],p[N],phi[N],fac[N],pre[N];inlinevoid
LowestJN·2017-12-22 13:21

[杜教筛] 51nod1238. 最小公倍数之和 V3

1ndi[(i,nd)=1]=n∑d|ndφ(d)+n那么Ans=2A(n)−∑i=1ni=∑i=1ni∑d|idφ(d)=∑d=1nd2φ(d)∑i=1⌊nd⌋i∑nd=1d2φ(d)这个东西可以用杜教筛推
LowestJN·2017-12-20 20:36

[杜教筛] 51nod1238. 最小公倍数之和 V3

1ndi[(i,nd)=1]=n∑d|ndφ(d)+n那么Ans=2A(n)−∑i=1ni=∑i=1ni∑d|idφ(d)=∑d=1nd2φ(d)∑i=1⌊nd⌋i∑nd=1d2φ(d)这个东西可以用杜教筛推
LowestJN·2017-12-20 20:36

[杜教筛] HDU5608. function

)=∑i=1n(i2−3i+2)−∑i=2nS(⌊ni⌋)(f∗1)(n)=n2−3n+2f(n)=(f∗ϵ)(n)=(f∗μ∗1)(n)=∑d|n(d2−3d+2)μ(nd)O(nlnn)预处理后上杜教筛
LowestJN·2017-12-20 13:32

杜教筛

如果一个积性函数，能够快速求得其狄利克雷卷积的前缀和，则可以在O(n23)的时间内快速筛出其前缀和，这种筛法叫做杜教筛。
DZYO·2017-09-17 16:42

uestc 811 GCD 杜教筛 + 自然幂和

传送门:UESTC811这题思路出的还算快,但是UESTCOJ评测卡了一天,代码细节比较多,调bug的时候都怀疑解法是不是又错了这题好像不好找题解题意1usingnamespacestd;typedeflonglongLL;#definenextNextconstintN=10000001;constLLmod=1e9+7;constLL_2=(mod+1)/2;constintmo=233333
数论只会GCD·2017-08-22 23:00

省队集训Round2 DAY2

每次二分出一个位置用杜教筛计算一下。对于最大值最小值所在的位置可以打表啊。
clover_hxy·2017-08-19 20:27

51nod 1238 杜教筛

传送门：51nod1238题意求G(N)=∑i=1N∑j=1Nlcm(i,j)题解首先G(N)=∑i=1N∑j=1Nlcm(i,j)=2∑i=1N∑j=1ilcm(i,j)−∑i=1Nlcm(i,i)=2∑i=1Ni∑d|i∑u=1idu[gcd(u,id)=1]−N(N+1)2=2∑i=1Ni∑d|iidϕ(id)+[id=1]2−N(N+1)2=∑i=1Ni∑d|iidϕ(id)+[id=1]
数论只会GCD·2017-08-07 16:22

HDU 5608 莫比乌斯反演 + 莫比乌斯函数前缀和

传送门:HDU5608附一下tls整理的求积性函数前缀和的姿势,应该是杜教筛author:skywalkertoriginalarticle:http://blog.csdn.net/skywalkert
数论只会GCD·2017-08-06 18:37

[JZSC2017]【GDOI2018模拟7.12】总结

等等，我什么都没说T1奇怪的逆序对T2数据范围好像直接矩乘啊不对状态太大了弄不了T370分裸反演，满分杜教筛？啊啊不会杜教筛啊怎么办随便先玩一波反演什么鬼没有模？
BAJim_H·2017-07-12 16:07

[杜教筛] BZOJ3944: Sum

题意给定n,求∑ni=1ϕ(i)和∑ni=1μ(i)n≤231−1题解假装做了一道新题这道题=这题+这题水啊水#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;usingnamespacestd::tr1;constintmaxn=5000005,N=5000000;typedeflonglongLL;intQ;intp[maxn]
Lynstery·2017-07-04 12:26

洛谷P3768：简单的数学题 （杜教筛）

题目传送门：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3768题目分析：我们来看一下，原先题目要我们求：∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)我们变形一下，将j只枚举到i。则原式转化成：2∑i=1ni∑j=1ijgcd(i,j)−∑i=1ni3由于我们将i=j时候的答案算了两次，所以最后要减去i*i*gcd(i,i)，即i的立方。接下来我们重点关注左边那个部分
KsCla·2017-05-26 14:31

hdu5608 function

口胡来看这个傻逼式子，令g(x)=x2−3x+2那就是g(x)=∑d|xf(d)傻逼莫比乌斯反演f(x)=∑d|xμ(d)g(xd)你不是求f的前缀和吗，直接硬套杜教筛的式子肯定不行，因为g并不是积性函数
*ACoder*·2017-05-12 20:56

【jzoj5069】【GDSOI2017第二轮模拟】【蛋糕】【莫比乌斯反演】【杜教筛】

题目大意CJY很喜欢吃蛋糕，于是YJC弄到了一块蛋糕，现在YJC决定和CJY分享蛋糕。这块蛋糕上有n^2颗葡萄干，排成了一个n*n的点阵，每颗葡萄干互不相同且被编号为1~n^2。YJC决定沿着一条直线把蛋糕切成两份。YJC和CJY都很喜欢吃葡萄干，所以切出的两份蛋糕必须都包含至少一颗葡萄干。同时他们都不希望吃到不完整的葡萄干，所以切的时候不能经过任意一颗葡萄干。CJY喜欢1号葡萄干，所以他选择了包
inklutcuah·2017-04-19 17:39

5069. 蛋糕

DataConstraintn≤109题解题目要求的就是2[2×n2∑i=1nφ(i)−3n∑i=1nφ(i)×i+∑i=1nφ(i)×i2]然后就可以考虑用杜教筛来计算。
Akakii·2017-04-18 19:48

bzoj 3930: [CQOI2015]选数 莫比乌斯反演+杜教筛

题意我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即
SFN1036·2017-04-17 21:11

【jzoj5054】【统计】【杜教筛】

题目大意给定n,k,求满足一下条件的整数数组a[]的数量：1.a[]中共有k个元素;2.a[i]∈[1,n];3.∀i∈[1,k),a[i]≤a[i+1];4、gcd(a1,a2…ak)=1答案可能很大，请mod(109+7)后输出解题思路观察可知ans=∑ni=1f(n/d)mu[d],f(x)=ckx+k−1我们需要快速求出mu的前缀和s(x)=∑xi=1mu[i]=∑xi=1∑d|imu[d
inklutcuah·2017-04-14 08:55

[BZOJ3930][CQOI2015]选数（莫比乌斯反演+杜教筛）

题目描述传送门题解我tm从头到尾竟然都记了一个错误的反演公式…令f(n)表示选出gcd为n的有多少种方案令F(n)表示选出gcd为n的倍数的有多少种方案也就是F(n)=∑n|df(d)那么利用反演公式可以得到f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)现在就是要求f(k)=∑k|dμ(dk)F(d)首先考虑F(d)如何求，很显然若[l..r]范围内d的倍数的个数为x的话，答案应该为xn那么F(d)不就是(
Clove_unique·2017-03-28 11:58

[BZOJ3930][CQOI2015]选数（莫比乌斯反演+杜教筛）

题目描述传送门题解我tm从头到尾竟然都记了一个错误的反演公式…令f(n)表示选出gcd为n的有多少种方案令F(n)表示选出gcd为n的倍数的有多少种方案也就是F(n)=∑n|df(d)那么利用反演公式可以得到f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)现在就是要求f(k)=∑k|dμ(dk)F(d)首先考虑F(d)如何求，很显然若[l..r]范围内d的倍数的个数为x的话，答案应该为xn那么F(d)不就是(
Clove_unique·2017-03-28 11:58

[BZOJ4176]Lucas的数论（莫比乌斯反演+杜教筛）

题目描述传送门题解做约数个数和的时候有一个结论：d(nm)=∑i|n∑j|m[(i,j)=1]直接套进去∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j[(x,y)=1]然后根据反演公式[n=1]=∑d|nμ(d)=∑d=1nμ(d)∑x=1n[d|x]∑i=1n[x|i]∑y=1n[d|y]∑j=1n[y|j]令x=dx,y=dy，再令i=di,j=dj=∑d=1nμ(d)(∑x=1nd∑i=1nd[x|i
Clove_unique·2017-03-28 10:58

[BZOJ4176]Lucas的数论（莫比乌斯反演+杜教筛）

题目描述传送门题解做约数个数和的时候有一个结论：d(nm)=∑i|n∑j|m[(i,j)=1]直接套进去∑i=1n∑j=1m∑x|i∑y|j[(x,y)=1]然后根据反演公式[n=1]=∑d|nμ(d)=∑d=1nμ(d)∑x=1n[d|x]∑i=1n[x|i]∑y=1n[d|y]∑j=1n[y|j]令x=dx,y=dy，再令i=di,j=dj=∑d=1nμ(d)(∑x=1nd∑i=1nd[x|i
Clove_unique·2017-03-28 10:58

[BZOJ3944]Sum（杜教筛）

题目描述传送门题解杜教筛裸题我不会手写hash表…讲解移步：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/66991109代码#include#include
Clove_unique·2017-03-28 10:03

[BZOJ3944]Sum（杜教筛）

题目描述传送门题解杜教筛裸题我不会手写hash表…讲解移步：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/66991109代码#include#include
Clove_unique·2017-03-28 10:03

bzoj 3930: [CQOI2015]选数 （杜教筛+反演）

题目描述传送门题目大意：从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。求从区间[L,H]中选取N个整数，使其最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。题解f(d)表示gcd为d的方案有多少个。F(d)表示d|gcd的方案有多少个。F(d)=(⌊rd⌋−⌊l−1d⌋)N那么根据莫比乌斯反演的公式f(d)=∑d|nμ(nd)∗F(n)转换一下枚举的方式f(d)=∑i=1⌊
clover_hxy·2017-03-21 23:03

【51NOD 1238】最小公倍数之和 V3

Solution1设gd表示gcd(i,j)为d的倍数的i∗j之和，反演过程省略（反演时先除一下，后面可以消掉）设：Sn=(12∗(n+1)n)2Ans=∑i=1nμ(i)i2∑d=1⌊ni⌋d∗S⌊nid⌋用杜教筛做
HOWARLI·2017-03-13 20:21

【数论】杜教筛

今年的GDKOI居然考了反演，还要用杜教筛，狠狠的把我骇了一跳，回来在51nod上随便点开几题看起来像是反演的题，发现都是要用杜教筛（这RP~），好吧好吧，那就学杜教筛咯~杜教筛的套路有几个大家都很熟悉的式子
HOWARLI·2017-03-13 12:39

bzoj 3944: Sum （杜教筛）

题目描述传送门题目大意：ans1=∑ni=1φ(i),ans2=∑ni=1μ(i)n#include#include#include#include#include#defineN5000000#defineLLlonglongusingnamespacestd;intt;intn,mu[N+30],prime[N+30],pd[N+30];LLphi[N+30];mapans,ans1;void
clover_hxy·2017-02-28 15:54

[BestCoder Round #68][HDU5608]function

考虑使用杜教筛套路，设S(n)=∑ni=1f(i)：S(n)=∑i=1nG(i)−∑i=2nS(⌊ni⌋)其中G(i)的前缀和使用数列
a_crazy_czy·2017-02-24 20:19

[BZOJ3944]SUM 杜教筛

∑ni=1∑d|iϕ(d)=∑ni=1i=∑ni=1∑⌊ni⌋j=1ϕ(j)n∗(n+1)2=∑ni=1Sϕ(⌊ni⌋)Sϕ(n)=n∗(n+1)2−∑ni=2Sϕ(⌊ni⌋)套杜教筛。
LowestJN·2017-01-24 15:02

关于数论的一些东西

数论的题大概有几类，积性函数、同余方程、概率、组合数学、其他一些什么东西和数论搅在一起==积性函数的题一般都要推公式，反演，线性筛，有时要递归处理子问题、杜教筛、应用某个函数的特殊性质同余方程的问题有方程解个数和求解等东西
L_0_Forever_LF·2016-11-08 11:24

积性函数求前缀和

杜教筛同样利用积性函数的性质。举常见的莫比乌斯函数为例。求∑ni=1μ(i)(1=2于是有s(n)=1-∑ni=2∑⌊ni⌋d=1μ(d)(这里的i表
Drin_E·2016-07-21 20:47

PE 439 【莫比乌斯反演】【杜教筛】

垃圾题，坑了我一天QAQ题目大意：求∑Ni=1∑Nj=1σ(ij),N=1011∑Ni=1∑Nj=1σ(ij)=∑Ni=1∑Nj=1∑x|i∑y|jxjy[gcd(x,y==1)]=∑Ni=1∑Nj=1∑x|i∑y|jxjy∑d|x,yμ(d)=∑Nd=1μ(d)∑⌊nd⌋i=1id⌊nid⌋∑⌊nd⌋j=1j⌊nid⌋=∑Nd=1dμ(d)(∑⌊nd⌋i=1σ(i))2这貌似跟SDOI2015的
beginendzrq·2016-04-18 14:00
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