积性函数1、积性函数：任意互素的两个数m、n，满足f(mn)=f(m)f(n)常见积性函数：φ,μ,σ,dφ,μ,σ,dφ,μ,σ,dφ：欧拉函数μ：莫比乌斯函数d：约束个数函数d=∑d∣n1d=\sum_{d|n}1d=∑d∣n1σ：约束和函数σ(n)=∑d∣ndσ(n)=\sum_{d|n}dσ(n)=∑d∣nd2、完全积性函数：任意两个数m、n，满足f(mn)=f(m)f(n)常见完全积性函

我来填坑啦！（摘录自pengym大佬博客）前置技能：各种积性函数我们平时所惯用的数论函数都是积性函数。积性函数的定义：如果已知一个函数为数论函数，且f(1)=1f(1)=1f(1)=1，并且满足以下条件，若对于任意的两个互质的正整数p,qp,qp,q都满足f(p∗q)=f(p)∗f(q)f(p*q)=f(p)*f(q)f(p∗q)=f(p)∗f(q)，那么称这个函数为积性函数。特殊的，如果对于任意

题意分析直接用线性筛来求肯定不行，我们考虑别的方法。先来考虑ans2吧设S(n)=∑ni=1μ(i)根据μ的性质∑d|iμ(d)=0(i>1)或1(i=1)可得∑ni=1∑d|iμ(d)=1∑ni=1∑d|iμ(d)=∑ni=1∑d|iμ(d/i)=∑nd=1∑⌊nd⌋i=1μ(i)=∑nd=1S(⌊nd⌋)从而可以得出S(n)=1−∑nd=2S(⌊nd⌋)那么可以通过预处理[1,5000000]

题意d(k)表示k的所有约数的和。d(6)=1+2+3+6=12。定义S(N)=∑1#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;typedeflonglongLL;constintN=2000005;constintMOD=1000000007;intn,prime[N],yue[N],low[N],s[N],tot;bool

Source:Source:Source:ACM-ICPC2018徐州赛区网络预赛Idea:Idea:Idea:f(n,m)=∑i=1mμ(i∗n)=μ(n)∗∑i=1mμ(i)[gcd(i,n)=1]f(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i*n)=\mu(n)*\sum_{i=1}^{m}\mu(i)[gcd(i,n)=1]f(n,m)=i=1∑mμ(i∗n)=μ(n)∗i=1∑mμ

然后用μ的平方来判定有无平方因子，可以得到然后就是对这2个求和就可以了，想用杜教筛？上次南京网络赛告诉我们是不行的。。

杜教筛学习总结前言一直听说杜教筛非常nb，但关于它的学习一直被鸽==但最近遇到太多数学题辣，所以不得不把这个坑填上了。

输入输出样例输入样例#1：612813302333输出样例#1：112022-258-3278-316554702大佬博客：https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/9446555.html（证明、推导全都有，一些常用的函数要记住。简直好文。）写一下需要记的公式吧：设，g为自己要找的数论函数，f为题目所给函数。结论：，S(n)为所求函数的前缀和。实现：首先，筛一个合适常数

定义在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。并且用符号φ(n)表示一个整数的欧拉函数。例如φ(8)=4。特殊的φ(1)=1。一些欧拉函数的性质性质一对于一个质数n，φ(n)=n−1。证明：因为n是质数。性质二若n=pk，则φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1。证明：因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。性质三当gcd(n,m)=1时，φ(nm)=φ(n)∗φ(m

前言头都给队友们打烂了啊这玩意还是简单易懂的啊qwq似乎博客已经变成了笔记博客？？用途求一类积性函数的前缀和经典问题有求μ\muμ与ϕ\phiϕ的前缀和，本文将以这两个函数的前缀和为例前置狄利克雷卷积两个函数fff和ggg的狄利克雷卷积f∗gf*gf∗g即为(f∗g)(i)=∑d∣if(i)g(id)(f*g)(i)=\sum_{d|i}f(i)g(\frac{i}{d})(f∗g)(i)=d∣i

推一下考虑把ij的质因数拆成i和j的质因数的乘积，但是直接算会有重复。令ij的一个质因数是ab，其中a|i，b|j，如果满足(a,jb)=1的话，每个质因数就只会被枚举到一次了那么Sk(n)=∑i=1n∑j=1n∑a|i∑b|j[(a,b)=1](ajb)k如果k=0，反演一下就是陈老师R老师等式了题目就是求S1(n)，反演一下得到S1(n)=∑t=1nμ(t)t∑a=1⌊nt⌋a⌊nat⌋∑b=

首先感谢又强又嘴又可爱脸还筋道的国家集训队（Upd:WC2019进候选队，CTS2019不幸rk6退队）神仙瓜(jumpmelon)给我讲解这三种筛法~~由于博主的鸽子属性，这篇博客可能会无限期咕咕咕线性筛这种算法是比较基础的筛法，在入门时就已经学习用它来筛一定范围内的质数了，因此具体算法流程无需赘述。但在筛质数的基础上，这种算法由于其优越性质在处理数论函数时也被广泛应用。这里直接给出筛出小于\(

文章目录题目思路代码题目HDU2≤n≤1082\len\le10^82≤n≤108思路考试时候一直在想什么杜教筛和分块，但是数组开不下而且好像错了这个分数裂项简直绝了考虑记fn=∑1≤a#include

题目大意：略洛谷传送门鉴于洛谷最近总崩，附上良心LOJ链接任何形容词也不够赞美这一道神题$\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==1][gcd(j,K)==1]$$\sum\limits_{j=1}^{M}[gcd(j,K)==1]\sum\limits_{i=1}^{N}[gcd(i,j)==1]$我们先处理右边的式子$\sum\

下面给出部分分做法和满分做法有一些奇妙的方法可以拿到同样多的分数，本蒟蒻只能介绍几种常见的做法如果您想拿18分左右，需要了解：质因数分解如果您想拿30分左右，需要了解：一种较快的筛法如果您想拿70分左右，需要了解：莫比乌斯反演+杜教筛

然后转化为O(n13)的运算，但是需要预处理μ的前缀和，大力杜教筛求和。然后感谢阿爷教我把二分改成了迭代，小范围内一个一个挪，用rho求μ(n)，然后就能卡进去了。复杂度似乎是萎的吧。

传送门考虑对于一个kkk进制循环小数xy\fracxyyx如果循环节为lll那么这个数乘上klk^lkl后小数部分不变那么就是xy−⌊xy⌋=xkly−⌊xkly⌋\fracxy-\lfloor\fracxy\rfloor=\frac{xk^l}y-\lfloor\frac{xk^l}y\rflooryx−⌊yx⌋=yxkl−⌊yxkl⌋x−⌊xy⌋y=xkl−⌊xkly⌋yx-\lfloor\f

求：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[(i,j)=1][(j,k)=1]$这个时候可以拆前面的，也可以拆后面的.由于后面的$k$是一个定值，考虑拆解后面的部分.得：$\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[(i,jd)=1]$$\Rightarrow\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^

前置技能埃式筛法：标记素数的倍数（线性筛是标记每个数的素数倍数）积性函数性质:(积性函数比如欧拉函数需要条件gcd(a,b)=1，完全积性函数不需要）二.适用范围min2.5筛:质数幂的多项式（完全积性函数）求(杜教筛

目录原根质因数分解卢卡斯定理（Lucas）数论分块莫比乌斯反演杜教筛威尔逊定理原根若(a,m)=1(a,m)=1(a,m)=1，使得ax≡1(modm)a^x\equiv1(mod\m)ax≡1(modm

杜教筛（似乎有很多人在催我的杜教筛呢......）前言话说，我是不是在自己的莫比乌斯反演中挖了许多杜教筛的坑啊......本文完整的总结介绍杜教筛，也算是将莫比乌斯反演中的坑全部填满吧！

目录预备知识积性函数狄利克雷卷积莫比乌斯反演莫比乌斯反演的约数形式莫比乌斯反演的倍数形式数论分块习题(狄利克雷卷积+莫比乌斯反演)杜教筛习题(杜教筛)一些约定本文中所有未知数如没有特别说明，均为整数\(

在一节晚自习的时候写的无聊东西曾经也想好好写一写自己的oi历程，也许会有人看，不过因为自己懒加上文笔差也一直没写，直到昨天好像pantw生日的时候看到了他的回忆录，今天终于忍不住也写了一篇，感觉这个才是真的流水账233刚刚切掉一道杜教筛的题目

文章目录前置知识杜教筛上：莫比乌斯函数求和杜教筛上：欧拉函数求和杜教筛上：小结杜教筛下：前置：迪利克雷卷积杜教筛下：求∑i=1nϕ(i)×i\sum_{i=1}^{n}\phi(i)\timesi∑i=

题目传送门：51nod我们可以先观察一下这个$f(x)=\sum_{d|x}\mu(d)\cdotd$。首先它是个积性函数，并且$f(p^k)=1-p\(k>0)$，这说明函数$f(x)$的值只与$x$的质因数集合有关，与每个质因数的次数无关，然后我们就容易发现$f(gcd(i,j))\cdotf(lcm(i,j))=f(i)\cdotf(j)$。于是原式化为$$\begin{aligned}\s

求s(n)的话，可以用杜教筛。先线筛出μ(i),i≤P,P=107。然后有如下式子：∑i=1n∑j|iμ(j)=1,枚举ij，会得到∑i=1n∑

关于亚线性筛，之前已经写过了杜教筛，但是个人感觉用到的地方确实不太多，而且比较难构造。而这次要讲的Min25筛则相对要求的条件更低，而且不需要构造新的数论函数

杜教筛问题一般是求\[\sum_{i=1}^{n}f(i)\]这样的式子。

也许你已经学习了莫比乌斯反演，但看到式子还是不会化对不对。但是你不用管它，就当你没学过，先记住两个式子：等式一[n=1]=∑d∣nμd[n=1]=\sum_{d|n}\mu_d[n=1]=∑d∣nμd等式二n=∑d∣nφdn=\sum_{d|n}\varphi_dn=∑d∣nφd那么容易发现这两个等式的意义，等式一可以把一个“判一”的式子化成可以计算的函数，等式二把一个数化到枚举范围里面去。这么说

杜教筛这个东西已经咕了差不多半年QAQ然后现在才开始写.有的时候,我们需要完成这样一个问题.求\(\sum_{i=1}^nf(i)\).其中\(f\)是积性函数.当\(n\leq10^7\)时,可以用线性筛解决这个问题

杜教筛用于求积性函数前缀和。

前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》清华大学出版社2019.8网购：京东当当    作者签名书如有建议，请加QQ群：567554289，或联系作者QQ：15512356文章目录0杜教筛简介0.1杜教筛的核心内容

要先会线性筛还要会线性筛两个积性函数的迪利克雷卷积https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9337898.htmlhttps://zhuanlan.zhihu.com/p/32303115感觉这个杜教筛写的不错

写在前面的..自己应该清楚应该做什么..想要做什么呢..SAM大量的题及课件[0/1]巩固MRPR[0/1]杜教筛[1/1]树套树[0/1]现在做了多少？（懒得数了..[9.13更]）？？

传送门（说到传送门，Steam夏日大促Portal2只要3CNY就是一玩起来就3D眩晕没法学习）：【知识总结】线性筛_杜教筛_Min25筛【知识总结】扩展卢卡斯定理（exLucas）【知识总结】Miller-Robin

数学相关高精度乘法逆元排列组合二项式定理质数的判定和应用约数拓展欧几里得大步小步算法（BSGS）拓展大步小步算法快速乘和快速幂矩阵相关欧拉函数欧拉定理及费马小定理中国剩余定理拓展中国剩余定理卢卡斯定理拓展卢卡斯定理狄利克雷卷积莫比乌斯函数莫比乌斯反演杜教筛快速傅里叶变换

莫比乌斯反演我们知道积性函数可以迪雷克卷积我们知道F(x)=Σd|xf(d)要求f(x)两面卷上一个μ得F∗μ=f∗1∗μF*μ=f*1*μF∗μ=f∗1∗μ得F∗μ=f∗(1∗μ)F*μ=f*(1*μ)F∗μ=f∗(1∗μ)得F∗μ=f∗eF*μ=f*eF∗μ=f∗e得F∗μ=fF*μ=fF∗μ=f也就是f=Σd∣xμ(x/d)f(d)f=Σd|xμ(x/d)f(d)f=Σd∣xμ(x/d)f(

的源文件供下载修改成自己的模板,也可在其中查看博客里面渲染失败的公式链接:https://pan.baidu.com/s/1QjdjJa2ek-7NRBRIB4uDjw提取码:8t4c莫比乌斯反演目录约定基本概念杜教筛常用性质小技巧线性筛各种积性函数

文章目录题意思路注意代码题意给出nnn和p,(n≤1010)p,(n\le10^{10})p,(n≤1010)，求∑i=1n∑j=1ni⋅j⋅gcd(i,j)  mod  p\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i\cdotj\cdotgcd(i,j)\;mod\;pi=1∑nj=1∑ni⋅j⋅gcd(i,j)modp思路准备好莫比乌斯反演

杜教筛和min_25筛基础习题这篇博客记录了自己最近几个月所刷的数论函数题目，所以有些题目可能不需要用到杜教筛或者min_25筛。某些题需要一些乱搞的技巧。感谢tangjz提供大量题目。

miu函数可以用杜教筛求，然后整数分块。

1244莫比乌斯函数之和基准时间限制：3秒空间限制：131072KB分值:320难度：7级算法题收藏关注莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：如果一个数包含平方因子，那么miu(n)=0。例如：miu(4),miu(12),miu(18)=0。如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，

【BZOJ3930】选数（莫比乌斯反演，杜教筛）题面给定\(n,K,L,R\)问从\(L～R\)中选出\(n\)个数，使得他们\(gcd=K\)的方案数题解这样想，既然\(gcd=K\)，首先就把区间缩小一下这样变成了

洛谷P3172[CQOI2015]选数标签容斥记忆化搜索前言很好的题~可以反演后杜教筛，也可以推式子然后dp！！

对于杜教筛我只是大概了解了一下他的用处以及基本的几个函数的筛法,并通过狄利克雷卷积了解了一下他的基本原理bzoj3944:Sum*裸的杜教筛bzoj4916:神犇和蒟蒻*按照筛phi的方式稍微推一下就好

题目中要求phi和miu的前缀和，利用杜教筛可以推出公式。

JC大爷出的神题送一发链接当我会做了：http://duxyz.github.io/solution/2014/04/03/DZY-Loves-Math-4/其中有个式子不是那么显然需要理解下实在不行就自己手写个例子#include#include#include#includetypedeflonglongll;usingnamespacestd;usingnamespacestd::tr1;c

模板题#include#include#include#includetypedeflonglongll;usingnamespacestd;usingnamespacestd::tr1;constintmaxn=10000000;intprime[1000000],num;intvst[maxn+5],miu[maxn+5];inlinevoidPre(){miu[1]=1;for(inti=2

SDOI2014]数表[SDOI2017]数字表格[POI2007]ZAP-Queries[HAOI2011]Problemb[SDOI2015]约数个数和[CQOI2015]选数常见积性函数与迪利克雷卷积（用于杜教筛

1239欧拉函数之和基准时间限制：3秒空间限制：131072KB分值:320难度：7级算法题收藏关注对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8)=4（Phi(8)=4），因为1,3,5,7均和8互质。S(n)=Phi(1)+Phi(2)+……Phi(n)，给出n，求