莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

（PS：在评论区中众多dalao的催促下，我认真的写了三天三夜写完了这篇杜教筛，保证是精品！）

前言

（这大概是我第一次写学习笔记吧OvO）
可能每一个刚开始接触莫比乌斯反演的OIer，起初都会厌恶这个神奇的东西。(我也一样233)每一个人厌恶的原因有许多，可能是这个烦人的式子，也可能仅仅只是因为不理解\(\mu\)函数而感到不爽。当然，莫比乌斯反演有一个小小的预备知识：整除分块
那么我们先从莫比乌斯反演中最基础的莫比乌斯函数\(\mu\)开始说起：

莫比乌斯函数

• 首先，我们可以先明确一点，莫比乌斯函数并不是什么很高大上的东西，它其实只是一个由容斥系数所构成的函数。\(\mu(d)\)的定义是:

1. 当\(d=1\)时，\(\mu(d)=1\)；
2. 当\(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i\)且\(p_i\)为互异素数时，\(\mu(d)=(-1)^k\)。(说直白点，就是\(d\)分解质因数后，没有幂次大于平方的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)；
3. 只要当\(d\)含有任何质因子的幂次大于等于2，则函数值为0.

• 当然，莫比乌斯函数也有很多有趣的性质：

1. 对于任意正整数\(n\)，\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)。（\([n=1]\)表示只有当\(n=1\)成立时，返回值为\(1\)；否则，值为\(0\)；(这个就是用\(\mu\)是容斥系数的性质可以证明)(PS:这一条性质是莫比乌斯反演中最常用的)
2. 对于任意正整数\(n\)，\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)。（这个性质很奇妙，它把欧拉函数和莫比乌斯函数结合起来，或许我之后写杜教筛的学习笔记时会去证明吧）

• 程序实现并不难，我们可以在线性筛素数的程序上略作修改，便可以筛出\(\mu\)函数。
• 那我还是给一段线筛的代码吧

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }

• 那么，莫比乌斯函数就这么告一段落了。

莫比乌斯反演

• 解决完莫比乌斯函数的问题后，我们便迎来了重头戏莫比乌斯反演
• 定理：F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件：
  \[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
  那么存在一个结论：
  \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\]
  这个定理就称作莫比乌斯反演定理。
• 莫比乌斯反演的证明主要有两种方式，其中一种就是通过定义来证明；另外一种，我则是会在杜教筛中提到(利用狄利克雷卷积)。那么我先来说一说第一种证明方法：
  \[\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)\]
  \[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n)\]
  (PS:如果不知道最后一步怎么来的，可以再去看性质一，至于和式的变换，就自己脑补一下吧)
• 当然，莫比乌斯反演有另外的一种形式，当\(F(n)\)和\(f(n)\)满足：
  \[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]
  可以推出：
  \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\]
• 感觉这个式子，可能在莫比乌斯反演中更加好用。

那么，莫比乌斯反演的基本内容就说完了。知道了这些内容，就已经可以解决一些有关的问题了。我做了一些关于莫比乌斯反演的题，具体题解可以看看我博客中的内容。

题目

YY的gcd

[POI2007]ZAP-Queries

[SDOI2015]约数个数和

[HAOI2011]Problem b

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格

(未完，待更新)