专题里混进来了一个杜教筛题看了半天没有明白。。。等等我就去学，先放着。。。记一下思路吧。无特别强调时，除法依旧表示向下取整。

除了一些进阶的知识，像莫比乌斯反演，杜教筛，min25学不会我跳了，一些基础的思维还是可以记录一下。

\[(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j))modp\]前置芝士：莫比乌斯反演\[\mu*1=e\]欧拉反演\[\phi*1=n\]杜教筛点一下就有啦

什么是杜教筛？

题意求$\sum_{i=a}^b\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{i}$.分析只需要求出前缀和，$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{i}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{j}{gcd(i,j)}\\&=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}

题意求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)$.分析$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd[gcd(i,j)=d]\\&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j=d)]\\&=\sum_{d=1}^nd\s

目录数论扩展欧几里得乘法逆元1.费马小定理（最好写）2.扩展欧几里得3.递推（扩展）中国剩余定理（扩展）卢卡斯定理莫比乌斯反演杜教筛函数快速傅里叶变换（FastFourierTransformation

题目地址看到这题目就不想做了系列，出题人是不是都不知道杜教筛是什么东西啊，他家杜教筛可以预处理优化到\(O(n^\frac{2}{3})\)先吓唬你一下，我们要求：\[\sum_{i=1}^n\sum_

分治整体二分莫队带修莫队树上莫队树上带修莫队数学线性筛数论分块gcdexgcd线性求逆元欧拉定理中国剩余定理ex中国剩余定理卢卡斯定理莫比乌斯函数0/1分数规划欧拉函数矩阵乘法高斯消元BSGSFFTNTT杜教筛图论

正解:容斥/杜教筛+二分解题报告:传送门$QwQ$首先一看这数据范围显然是考虑二分这个数然后$check$就计算小于等于它的不是讨厌数的个数嘛.于是考虑怎么算讨厌数的个数?

2019-ACM-ICPC-南京区网络赛-E.KSum-杜教筛+欧拉定理【ProblemDescription】令\(f_n(k)=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n\dots\sum

RikkawithGeometricSequenceTimeLimit:14000/7000MS(Java/Others)    MemoryLimit:524288/524288K(Java/Others)TotalSubmission(s):130    AcceptedSubmission(s):53 ProblemDescriptionAlongtimeago,Rikkawasnotgoo

杜教筛intprime[maxn],cnt;boolvis[maxn];llphi[maxn],mu[maxn];voidinit(){phi[1]=mu[1]=1;for(inti=2;imp1;tr1

Problem∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)klcm(i,j)[gcd(i,j)∈prime]%(1e9+7)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j)^klcm(i,j)[gcd(i,j)\inprime]\%(1e9+7)∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)klcm(i,j)[gcd(i,j)∈prime]%(1e9+7)Solution只要你会标题上面的这

链接luogu思路为了做hdu来学杜教筛。杜教筛模板题。卡常数，我加了register居然跑到不到800ms。太深了。

题目链接：哆啦A梦传送门题解：f(n,a,b)=∑i=1n∑j=1igcd(ia−ja,ib−jb)[gcd(i,j)==1]f(n,a,b)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)==1]f(n,a,b)=∑i=1n∑j=1igcd(ia−ja,ib−jb)[gcd(i,j)==1]我们得知道有这个公式：gcd(ia−j

2019CCPC网络赛的一道题目，现场猜到了结论，但本人过于沙雕，试了一下猜想，居然不对，就立刻转身了。猜想是正确的，是我验证错了....猜想：$$gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j$$推导结果：$$\sum_{d=1}^{N}\mu(d)\cdotd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{i}(i-j)$$设$\lfloo

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6683题意：问1-n这些数字中有多少子序列是等比数列。做法：这道题有点悬。。。。。我们接下来来一下，数学推导（瞎JB乱搞）：我们设等比数列的公比,等比数列的长度为，首项末项这个必定是一个整数，所以可以得到,这个是显而易见的。但不过这个好像不好弄。因为如果你统计p的数目，这只是n范围内的p，并没有说明q啊。但不过也

也许更好的阅读体验作用与使用前提对一个积性函数\(f\)，我们要求\(f\)的前\(n\)项和\(S_n\)，并且要求在比线性复杂度更低的复杂度情况下求出若有数论函数\(g,h\)，满足\(h=f*g\)其中\(*\)为狄利克雷卷积并且\(h\)的前缀非常好求，\(g\)的单项非常好求，我们就可以快速的求出\(f\)的前缀和求法先看\(f,g,h\)的关系\(\begin{aligned}h(n)

目录（假的狄利克雷卷积基础知识数论函数狄利克雷卷积定义狄利克雷卷积性质常用卷积卷积计算方法最暴力的暴力稍好的暴力优美的暴力莫比乌斯反演（待填坑）杜教筛经典杜教筛第二种杜教筛第三种杜教筛背景本人即将去CTS

题意简述求出这个式子\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij(i,j)\bmodp\]做法先用莫比乌斯反演拆一下式子\[\begin{split}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij(i,j)&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[(i,j)=d]\\&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\f

从北京实习结束后回来立马赶上了西安邀请赛，却因为杜教筛半桶水水平，开场被B题教育了，最后两小时开错了题，没做最擅长的线段树去跟榜做了J，然后罚座两小时，最终银牌滚粗，随后开始了南昌邀请赛之旅，因为我的莽撞

题目链接传送门题面思路：我们先将公式进行化简：∏i=1n∏i=1n∏i=1nmgcd(i,j)[k∣gcd(i,j)]=m∑i=1n∑j=1n∑k=1ngcd(i,j)[k∣gcd(i,j)]\begin{aligned}&\prod_{i=1}^{n}\prod_{i=1}^{n}\prod_{i=1}^{n}m^{gcd(i,j)[k|gcd(i,j)]}&\\=&m^

#includeusingnamespacestd;typedeflonglongLL;constintmaxn=3e6+3;intt,n,cnt;boolv[maxn];shortmu[maxn];intisp[maxn],phi[maxn];LLsum1[maxn];intsum2[maxn];unordered_mapdp1;unordered_mapdp2;voidinit(){mu[1]

杜教筛问题一般是求∑i=1nf(i)\sum_{i=1}^{n}f(i)i=1∑nf(i)这样的式子。

传送门题意：思路：直接上杜教筛。知道怎么推导就很简单了，注意预处理的范围。

目录莫比乌斯函数莫比乌斯反演【CJOJ2512】gcd之和-反演P2257YY的GCD-反演小清新数论-杜教筛\(求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)\)\(求\sum

F-小清新数论做法一：欧拉函数#include#includeusingnamespacestd;#defineLLlonglongconstintmaxn=1e7+9;constLLmod=998244353;LLphi[maxn],miu[maxn],fac[maxn];//phi--欧拉函数表miu--莫比乌斯函数表fac--i最大的素因子辅助打phi表voidinit(){for(inti

正题题目链接给一下题目已经很明显了，要我们求还是变形一下，然后套路反演因为H很大，所以前缀和用杜教筛求就好了，然后整除分块，大概时间复杂度就是非线性的吧。

题目描述有N2−3N+2=∑d∣Nf(d)N^2-3N+2=\sum_{d|N}f(d)N2−3N+2=∑d∣Nf(d)求∑i=1Nf(i)\sum_{i=1}^{N}f(i)∑i=1Nf(i)mod109+7~mod~10^9+7mod109+71<=T<=5001<=N<=1091<=T<=500\\1<=N<=10^91106题目分析f(n)=

假设我们要求S(n)S(n)S(n)且有S(n)=∑i=2nS(⌊ni⌋)S(n)=\sum_{i=2}^nS(⌊\fracni⌋)S(n)=∑i=2nS(⌊in⌋)于是我们要求在整除分块优化下的时间复杂度,只需要求出n个S(⌊ni⌋)\sqrtn个S(⌊\fracni⌋)n个S(⌊in⌋)的值就行了假设计算出S(n)S(n)S(n)的复杂度为T(n)T(n)T(n),则有T(n)=Θ(n)+∑i

传送门:luoguP3768题解这个方法比较复杂但是很有技巧性。这个方法比较直接简洁。(懒代码#includeusingnamespacestd;constintN=8e6;typedeflonglongll;lln;intmod,iv2,iv6;intp[N],tot,phi[N],ans,lim;boolpri[N];mapmp;inlineintfp(intx,inty){intre=1;f

51nod1244-------杜教筛入门这几天开始学习杜教筛，前前后后看了大约一周，现在终于看懂了，感受到了自己的弱小，哈哈。这里不详细写了就，等区域赛回来给我的大一小孩讲一下。

problemThereisafunctionf(x),whichisdefinedonthenaturalnumberssetN,satisfiesthefollowingeqautionN2−3N+2=∑d|Nf(d)calulate∑Ni=1f(i)mod109+7.InputthefirstlinecontainsapositiveintegerT,meansthenumberofthet

 博主链接模版中以求欧拉函数和莫比乌斯函数前缀和为例#include#include#definelllonglongint;#defineN2001000#defineni500000004//2的逆元usingnamespacestd;constlonglongintmod=0x3f3f3f3f3f3f3f;inlinevoidread(longlong&x)//输入外挂{x=0;static

埃氏筛法这个筛法是最朴素的筛法了，可以在O(nloglogn)O(nloglogn)的时间内（基本O(n)O(n)）筛出[1,n]中所有素数。实现非常简单，从2开始遍历，对于每个质数都暴力算出它的所有倍数并筛掉，根据欧拉的调和级数定理，这个时间是O(nlogn)O(nlogn)级别的，但是只有质数才需要计算倍数，然后不知怎么回事复杂度就变成O(nloglogn)O(nloglogn)了。const

传送门.题解：设s(n)s(n)表示nn的最小质因子nn的最小质因子先小反演一下：∑ni=1∑nj=1sgcd(i,j)k∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j)k=∑nd=2s(d)k∗∑ni=1∑nj=1[gcd(i,j)=d]=∑d=2ns(d)k∗∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]=∑nd=2s(d)k∗∑⌊nd⌋i=1∑⌊nd⌋j=1[gcd(i,j)=1]=∑d=2ns(d)k

同杜教筛一样，同时筛出了所有⌊ni⌋\lfloor{n\overi}\rfloor⌊in⌋的前缀和。

杜教筛（似乎有很多人在催我的杜教筛呢......）前言话说，我是不是在自己的莫比乌斯反演中挖了许多杜教筛的坑啊......本文完整的总结介绍杜教筛，也算是将莫比乌斯反演中的坑全部填满吧！

题目看这里最近才学的杜教筛，顺便就写一写模板题吧杜教筛简易教程直接上代码了#include#include#include#include#defineN10000010#defineLLlonglong

【题意】原题地址题目大意：见分析。【解题思路】显然是反演，然而我的做法和网上题解完全不一样--，使得我心态爆炸了很久。题目相当于求Ans=∑ni=11i∑ij=1lcm(i,j)Ans=∑i=1n1i∑j=1ilcm(i,j)，开始推柿子。lcm转化为gcd（跳了一步）∑ni=1∑ij=1jgcd(i,j)∑i=1n∑j=1ijgcd(i,j)疯狂改变枚举顺序∑nd=1∑⌊nd⌋i=1∑ij=1[

基准时间限制：8秒空间限制：262144KB分值:640难度：8级算法题出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最小公倍数之和。相当于计算这段程序（程序中的lcm(i,j)表示i与j的最小公倍数）：由于结果很大，输出Mod1000000007的结果。G=0;for(i=1;i#include#include#include#include#include#definemaxx5000000#

ProblemDescriptionThereisafunctionf(x),whichisdefinedonthenaturalnumberssetN,satisfiesthefollowingeqautionN2−3N+2=∑d|Nf(d)N2−3N+2=∑d|Nf(d)calulate∑ni=1f(i)mod109+7∑i=1nf(i)mod109+7.Inputthefirstlineco

基准时间限制：3秒空间限制：131072KB分值:320难度：7级算法题对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8)=4（Phi(8)=4），因为1,3,5,7均和8互质。S(n)=Phi(1)+Phi(2)+……Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n=5，S(

基准时间限制：3秒空间限制：131072KB分值:320难度：7级算法题对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8)=4（Phi(8)=4），因为1,3,5,7均和8互质。S(n)=Phi(1)+Phi(2)+……Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n=5，S(

终于想起来要学这个了，但是似乎还没学完？先写一部分那就。注意：在此讨论的函数的定义域均在正整数上讨论积性函数定义：设有f(x)f(x)满足：若p和q为质数p和q为质数则有f(p∗q)=f(q)∗f(p)f(p∗q)=f(q)∗f(p)那么我们称f(x)f(x)为积性函数。如：1.常数函数l(n)=1l(n)=12.d(n)d(n):n的因子个数之和。3.σ(n)σ(n):n的各因子之和。4.μ(n

BZOJ3309DZYLovesMath【题目】原题地址对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3*5^1*7^2)=3,f(10007)=1,f(1)=0。给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j))))(i=1..a,j=1..b)。【解题思路】Ans=∑ad=1f(d)∑⌊ad⌋i=1∑⌊bd⌋j=1[(i,j)=1]Ans=∑

BZOJ3309DZYLovesMath【题目】原题地址对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3*5^1*7^2)=3,f(10007)=1,f(1)=0。给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j))))(i=1..a,j=1..b)。【解题思路】Ans=∑ad=1f(d)∑⌊ad⌋i=1∑⌊bd⌋j=1[(i,j)=1]Ans=∑

终于在考试中碰到了一题不能用杜教筛的函数，被迫来学这个。。。

终于在考试中碰到了一题不能用杜教筛的函数，被迫来学这个。。。